Συναρτησιακή

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ οι οποίες είναι συνεχείς και τέτοιες ώστε
$f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),\ \forall x,y \in \mathbb{R}$ .

Ilias_Zad · #2

Ειναι, $f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y) \leftrightarrow f(x+y)+1=(f(x)+1)(f(y)+1)$ , για καθε x,y

Θετοντας

, παιρνουμε h(x+y)=h(x)h(y)

για καθε

Aν για καποιο x_0, h(x_0)=0

τοτε

για καθε

Aν

ποτε

τοτε,

και $h(x)=h(\frac{x}{2})^2>0$ για καθε

Ετσι λογαριθμιζοντας ισχυει lnh(x+y)=lnh(x)+lnh(y)

, και

συνεχης στο R προυποθεσεις που με βαση τις συναρτησιακες Cauchy δινουν οτι $lnh(x)=cx => h(x)=e^{cx}$

Aρα επαληθευοντας εχουμε ως λυσεις $f(x)=e^{cx}-1$ , (

τυχαιος real) για καθε x ή f(x)=-1

για καθε x

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση