Είναι σταθερή

Eukleidis · #1

Έστω $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ συνεχής συνάρτηση με $\displaystyle{xf\left( x \right) \geqslant \int\limits_0^x {f\left( t \right)dt} }$ .

α) Να μελετηθεί η συνάρτηση $\displaystyle{g:{\mathbb{R}^*} \to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{g\left( x \right) = \tfrac{1}{x}\int\limits_0^x {f\left( t \right)dt} }$ ως προς τη μονοτονία.

β) Αν επιπλέον $\displaystyle{\int\limits_x^{x + 1} f (t)dt = \int\limits_{x - 1}^x f (t)dt}$ να δείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

freyia · #2

Για το (α)

$g(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}{f(t)dt}\Rightarrow xg(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}.$

$(xg(x)){'}=f(x)\Rightarrow g(x)+xg{'}(x)=f(x)\Rightarrow$

xg{'}(x)=f(x)-g(x)

Από την υπόθεση όμως μας δίνεται:

$f(x)\geq g(x)\Rightarrow xg{'}(x)\geq 0\Rightarrow g{'}(x)\geq 0$
άμα είναι:
x>0

Και άμα είναι x<0

τότε
$f(x)\leq g(x)\Rightarrow f(x)-g(x)\leq 0\Rightarrow xg{'}(x)\leq 0\Rightarrow g{'}(x)\geq 0$

Άρα η συνάρτηση είναι αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα $(-\propto, 0)$ και $(0 , +\propto)$

Διορθώθηκε μια απροσεξία μου, ευχαριστώ Χρήστο.

#3

β)
Είναι $\displaystyle{\int_0^nf(t)dt=n\int_0^1f(t)tdt.}$

Για $x\geq 1$ είναι $\lfloor x\rfloor +1>x\geq \lfloor x\rfloor\implies g(\lfloor x\rfloor +1)>g(x)\geq g(\lfloor x\rfloor),$

οπότε από ισοσύγκλιση η

άρα και η

είναι σταθερές στο $[1,\infty).$

Η σχέση f(x-1)=-f(x+1)+2f(x)

δίνει επαγωγικά σταθερή στο $\Bbb{R}$ την

dennys · #4

για το β) μια άλλη άποψη

b) Αν θέσουμε $F(x)=\int_0^{x}f(t)dt$ ,θα δείξουμε γενικά ότι άν $\int_x^{x+y}f(t)dt=\int_{x-y}^{x}f(t)dt$

τότε f(x)

σταθερή.

Η δοσμένη σχέση γίνεται $F(x+y)-F(x)=F(x)-F(x-y)\Rightarrow F(x+y)+F(x-y)=2F(x)$ παραγωγίζω ως πρός

και

και για $x=y=x/2\Rightarrow F{'}(x)=F{'}(0)=cte\Rightarrow f(x)=cte$

για y=1

, η ζηούμενη.

φιλικά dennys

dennys · #5

καλησπέρα

Θα ήθελα την τεκμηριωμένη γνώμη για την λύση ,που έδωσα.

Θα παρακαλούσα επίσης τον κ. που εβαλε το θέμα αν θέλει να το τελειώσει με την μαθηματικη επαγωγή και τα ακέραια μέρη ,

για να καταλάβω την λύση του .

φιλικά
dennys

air · #6

Ναι, κολλάει η λύση σου. Το πρόβλημα συγκεκριμένα είναι ότι το $\int_x^{x+y}f(t)dt=\int_{x-y}^{x}f(t)dt \forall x,y \in \mathbb R$ είναι τελείως διαφορετική συνθήκη από $\int_x^{x+y}f(t)dt=\int_{x-y}^{x}f(t)dt \forall x \in \mathbb R$ , όπου

σταθερός (επιλεγμένος) αριθμός.

Εσύ σαν υπόθεση έχεις τη δεύτερη σχέση, αλλά στην απόδειξη σου χρησιμοποιείς την πρώτη που είναι πολύ πιο ισχυρή...

(Για αυτό ο κ. Κυριακόπουλος συνέχεια τονίζει τη σημασία που έχουν οι ποσοδείκτες.)

Είναι σταθερή

Είναι σταθερή

Re: Είναι σταθερή

Re: Είναι σταθερή

Re: Είναι σταθερή

Re: Είναι σταθερή

Re: Είναι σταθερή

Μέλη σε σύνδεση