Υπολογισμός παραγώγου

atlantis_84 · #1

Αν $f(x)= \left( 1-\frac{x}{2} \right)^{\frac{a}{x}}$ να υπολογιστεί το f ' (0) δεδομένου οτι υπάρχει.

#2

Καλή σας μέρα
Κατά την γνώμη μου η άσκηση δεν είναι καλά διατυπωμένη.
Μία διατύπωση που θα θεωρούσα ικανοποιητική είναι η ακόλουθη:

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:(-\infty ,2]\rightarrow \mathbb{R}$ με
$f(x)=\left( 1-\frac{x}{2}\right) ^{\frac{a}{x}}$ για $x\neq 0$
1) Να βρεθεί το $f\left( 0\right)$
2) Να βρεθεί το $f^{\prime }\left( 0\right)$

Για να βρούμε τότε το $f\left( 0\right)$ γράφουμε $f(x)=\left( 1-\frac{x}{2}\right) ^{\frac{a}{x}}=e^{\frac{a}{x}\ln \left( 1-\frac{x}{2}\right) }$ . Τότε $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{a}{x}\ln \left( 1-\frac{x}{2}\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( 1-\frac{x}{2}\right) }{\frac{x}{a}}\allowbreak =_{\left( \frac{0}{0}\right) }=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{1-\frac{x}{2}}\left( -\frac{1}{2}\right) }{\frac{1}{a}}=\allowbreak -\frac{1}{2}a$ οπότε $f\left( 0\right) =e^{-\frac{1}{2}a}$ . Τώρα $f^{\prime }(0)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f\left( x\right) -f\left( 0\right) }{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\frac{a}{x}\ln \left( 1-\frac{x}{2}\right) }\allowbreak -e^{-\frac{1}{2}a}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\frac{a}{x}\ln \left( 1-\frac{x}{2}\right) }\allowbreak -e^{-\frac{1}{2}a}}{x}=...=-\frac{1}{8}e^{-\frac{1}{2}}a$
Δυστυχώς επειδή πρέπει να φύγω δεν προλαβαίνω να πληκτρολογήσω τις ενδιάμεσες πράξεις που παρεμβάλλονται στα αποσιωπητικά. Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος. Αν όχι τα ξαναλέμε.
Μαυρογιάννης

atlantis_84 · #3

Ευχαριστώ πολύ για την βοήθεια, αν και θα εκτιμούσα πολύ, αν δίνατε μία υπόδειξη για τις πράξεις στα αποσιωπητικά...

#4

atlantis_84 έγραψε: μία υπόδειξη για τις πράξεις στα αποσιωπητικά...

$f^{\prime }(0)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f\left( x\right) -f\left( 0\right) }{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\frac{a}{x}\ln \left( 1-\frac{x}{2}\right) }\allowbreak -e^{-\frac{1}{2}a}}{x}=_{\left( \frac{0}{0}\right) }$
$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\allowbreak \left( e^{\frac{a}{x}\ln \left( 1-\frac{x}{2}\right) }\left( -\frac{a}{x^{2}}\ln \left( 1-\frac{x}{2}\right) -\frac{a}{2x}\frac{1}{1-\frac{x}{2}}\right) \right) =$
$=-af\left( 0\right) \lim\limits_{x\rightarrow 0}\allowbreak \left( \frac{1}{x^{2}}\ln \left( 1-\frac{x}{2}\right) +\frac{1}{x}\frac{1}{\left( 2-x\right) }\right) =$
$=-af\left( 0\right) \lim\limits_{x\rightarrow 0}\allowbreak \left( \frac{1}{x^{2}}\ln \left( \frac{2-x}{2}\right) +\frac{1}{x}\frac{1}{\left( 2-x\right) }\right) =\left( _{2-x=u}\right)$
$=-af\left( 0\right) \lim\limits_{u\rightarrow 2}\allowbreak \left( \frac{1}{\left( 2-u\right) ^{2}}\ln \left( \frac{u}{2}\right) +\frac{1}{2-u}\frac{1}{u}\right) =$
$=-af\left( 0\right) \lim\limits_{u\rightarrow 2}\allowbreak \left( \frac{1}{\left( u-2\right) ^{2}}\ln \left( \frac{u}{2}\right) -\frac{1}{u-2}\frac{1}{u}\right) =$
$=-af\left( 0\right) \lim\limits_{u\rightarrow 2}\allowbreak \left( \frac{1}{\left( u-2\right) ^{2}}\left( \ln u-\ln 2\right) -\frac{1}{u-2}\frac{1}{u}\right) =$
$=af\left( 0\right) \lim\limits_{u\rightarrow 2}\allowbreak \left( \frac{-u\ln u+u\ln 2+u-2}{\left( u-2\right) ^{2}u}\right) =_{\left( \frac{0}{0}\right) }af\left( 0\right) \lim\limits_{u\rightarrow 2}\allowbreak \left( \frac{-\ln u+\ln 2}{\allowbreak 3u^{2}-8u+4}\right) =$
$=_{\left( \frac{0}{0}\right) }af\left( 0\right) \lim\limits_{u\rightarrow 2}\allowbreak \left( \frac{-\frac{1}{u}}{\allowbreak \allowbreak 6u-8}\right) =af\left( 0\right) \left( -\frac{1}{8}\right)$
και επομένως
$f^{\prime }(0)=a\allowbreak e^{-\frac{1}{2}a}\left( -\frac{1}{8}\right) =\allowbreak -\frac{1}{8}e^{-\frac{1}{2}a}a$
(Στην αρχική μου απάντηση είχα παραλείψει ένα

το οποίο και διόρθωσα).
Μαυρογιάννης

papel · #5

Θα μπορουσαμε να λογαριθμισουμε και να παραγωγισουμε επειτα γνωριζοντας βεβαια το f(0).Δεν το εχω ελεγξει ομως.

atlantis_84 · #6

Οκ τωρα το κατάλαβα ευχαριστώ για την βοήθεια και πάλι.

Υπολογισμός παραγώγου

Υπολογισμός παραγώγου

Re: Υπολογισμός παραγώγου

Re: Υπολογισμός παραγώγου

Re: Υπολογισμός παραγώγου

Re: Υπολογισμός παραγώγου

Μέλη σε σύνδεση