Όμορφο .. αλλά ζόρικο γενικευμένο ολοκλήρωμα

#1

Να αποδειχθεί ότι ${\color{blue} \mathbf{\int_{0}^{\infty }{ sin(x^{2})sin(\frac{1}{x^{2}})dx}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\cdot\frac{1+e^{2}(sin(2)-cos(2))}{4e^{2}}}}$

#2

Πάντα με μετασχηματισμούς Laplace.

#3

Persona_Non_Grata έγραψε:Να αποδειχθεί ότι ${\color{blue} \mathbf{\int_{0}^{\infty }{ sin(x^{2})sin(\frac{1}{x^{2}})dx}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\cdot\frac{1+e^{2}(sin(2)-cos(2))}{4e^{2}}}}$

Σεραφείμ,

ωραία χρήση του μετασχηματισμού Laplace. Είχα κάνει την ακόλουθη λύση αλλά δεν την έγραψα γιατί οι πράξεις είναι πολλές.

Τα βήματα είναι

α) γράφουμε το $I = \int_0^{\infty}...$ ως $\int_0^{1} + \int_1^{\infty} = I_1 + I_2$

b) στο I_2

κάνουμε τον μετασχηματισμό y = 1/x. Τελικά θα βρούμε ότι

$I = \int_0^{\infty}sinx^2sin\frac{1}{x^2}dx = \int_0^{1}(1 + \frac{1}{x^2})sinx^2sin\frac{1}{x^2}dx$

γ) αναπτύσουμε το $sin\frac{1}{x^2}$ σε σειρά Taylor $1 - \frac{1}{2!x^2}+ \frac{1}{4!x^4}+...$ . H σειρά συγκλίνει.

δ) ολοκληρώνουμε όρο προς όρο. Εμφανίζονται τα $\int_0^1 \frac{sinx^2}{x^{2n}}dx$ που είναι γνωστά.

Και λοιπά ... και λοιπά, οι πράξεις είναι επίπονες αλλά μας είχες προειδοποιήσει.

Φιλικά,

Μιχάλης

Όμορφο .. αλλά ζόρικο γενικευμένο ολοκλήρωμα

Όμορφο .. αλλά ζόρικο γενικευμένο ολοκλήρωμα

Re: Όμορφο .. αλλά ζόρικο γενικευμένο ολοκλήρωμα

Re: Όμορφο .. αλλά ζόρικο γενικευμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση