Θετικη Ποσοτητα
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Θετικη Ποσοτητα
Δινεται η συνεχης συναρτηση η οποια εχει συνεχη πρωτη και δευτερη παραγωγο.Ζητειται να προσδιοριστουν οι απαραιτητες συνθηκες ωστε η ακολουθη ποσοτητα να ειναι θετικη :
.
Δωστε και ενα παραδειγμα τετοιας συναρτησης.
ΑΦΑΙΡΕΣΑ ΤΟ ΟΛΕΣ
.
Δωστε και ενα παραδειγμα τετοιας συναρτησης.
ΑΦΑΙΡΕΣΑ ΤΟ ΟΛΕΣ
τελευταία επεξεργασία από papel σε Δευ Οκτ 05, 2009 8:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Jeremy Bentham
Re: Θετικη Ποσοτητα
Αρχικά ένα εύκολο παράδειγμα
Η f' δεν μπορεί να μηδενίζεται σε διάστημα , άρα f γνήσια μονότονη , άρα εχει το πολύ μια ρίζα α όχι κοινή με την παράγωγο και συνεπώς ή ανάποδα
Αν επειδή πχ f(r)>0 πρέπει
από το όριο που δίνει την και την συνέχεια θα έπρεπε η να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του r άτοπο Άρα οπότε από την αρχική προκύπτει ότι
Τελικά και οι συνέπειές τους
Να συμπληρώσω ότι δεν αποκλείεται η f να έχει μια ρίζα, πχ οπότε η
Επίσης μπορούν να κατασκευαστούν πολλά τριγωνομετρικά παραδείγματα
TA ΟΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΑΡΧΙΚΟ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟ ΚΑΙ ΕΤΣΙ ΕΝΤΟΠΙΣΑ ΤΟ ΛΑΘΟΣ
Στα διαστήματα στα οποία η δεν σημαίνει ότι θα έχει το ίδιο προσημο άρα η f δεν θα είναι αναγκαστικά μονότονη
Θα το ξανακοιτάξω αργότερα!!
Η f' δεν μπορεί να μηδενίζεται σε διάστημα , άρα f γνήσια μονότονη , άρα εχει το πολύ μια ρίζα α όχι κοινή με την παράγωγο και συνεπώς ή ανάποδα
Αν επειδή πχ f(r)>0 πρέπει
από το όριο που δίνει την και την συνέχεια θα έπρεπε η να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του r άτοπο Άρα οπότε από την αρχική προκύπτει ότι
Τελικά και οι συνέπειές τους
Να συμπληρώσω ότι δεν αποκλείεται η f να έχει μια ρίζα, πχ οπότε η
Επίσης μπορούν να κατασκευαστούν πολλά τριγωνομετρικά παραδείγματα
TA ΟΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΑΡΧΙΚΟ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟ ΚΑΙ ΕΤΣΙ ΕΝΤΟΠΙΣΑ ΤΟ ΛΑΘΟΣ
Στα διαστήματα στα οποία η δεν σημαίνει ότι θα έχει το ίδιο προσημο άρα η f δεν θα είναι αναγκαστικά μονότονη
Θα το ξανακοιτάξω αργότερα!!
Re: Θετικη Ποσοτητα
Ανεβασα το αρθρο πανω στο οποιο στηριχτηκε η δραστηριοτητα.Αλλα οπως εχει καταφανει εδω μεσα καλο ειναι να το περασουμε και απο την δικη μας ιερα εξεταση.
- Συνημμένα
-
- First.Derivative.pdf
- (203.2 KiB) Μεταφορτώθηκε 58 φορές
"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Jeremy Bentham
Re: Θετικη Ποσοτητα
κατ' αρχήν η δεν μπορεί να έχει κοινές ρίζες ούτε με την ούτε με την
Αν η δεν έχει ρίζα τότε η θα είναι γνήσια μονότονη και διαιρώντας την αρχική με καταλήγουμε στο δηλαδή η και αν η δεν έχει ρίζα θα υπάρχει συνάρτηση [1]
ενώ αν η έχει ρίζα(μοναδική) θα ισχύουν ανάλογες σχέσεις με την [1] σε κάθε διάστημα που η έχει σταθερό πρόσημο. Ακόμη στις ρίζες της η θα απειρίζεται [2]
Επειδή η δεν μπορεί να μηδενίζεται σε διάστημα θεωρούμε ότι έχει μεμονωμένες ρίζες και συνεπώς ανάμεσα σε δυο διαδοχικές της θα υπάρχει το πολύ μια ρίζα της . Όμως από το κριτήριο της β΄παραγώγου και λόγω της αρχικής παρατήρησης οι ρίζες της είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων και αφού δεν μπορεί δυο διαδοχικά ακρότατα στο εσωτερικό του ΠΟ να είναι max-max ή min-min θα είναι πχ τότε άρα λόγω της αρχικά δοσμένης σχέσης και κατά συνέπεια θα υπάρχει ακριβώς μία ρίζα της ανάμεσά τους
Τελικά τα μέγιστα θα είναι >0 , τα ελάχιστα <0 , οι ρίζες των αλληλοχωρίζονται και σε κάθε διάστημα σταθερού προσήμου ισχύει σχέση της μορφής [1] ενώ πάνω στις ρίζες ισχύει η [2]
Αυτά προς επανόρθωση του προηγούμενου λάθους μου
Αν η δεν έχει ρίζα τότε η θα είναι γνήσια μονότονη και διαιρώντας την αρχική με καταλήγουμε στο δηλαδή η και αν η δεν έχει ρίζα θα υπάρχει συνάρτηση [1]
ενώ αν η έχει ρίζα(μοναδική) θα ισχύουν ανάλογες σχέσεις με την [1] σε κάθε διάστημα που η έχει σταθερό πρόσημο. Ακόμη στις ρίζες της η θα απειρίζεται [2]
Επειδή η δεν μπορεί να μηδενίζεται σε διάστημα θεωρούμε ότι έχει μεμονωμένες ρίζες και συνεπώς ανάμεσα σε δυο διαδοχικές της θα υπάρχει το πολύ μια ρίζα της . Όμως από το κριτήριο της β΄παραγώγου και λόγω της αρχικής παρατήρησης οι ρίζες της είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων και αφού δεν μπορεί δυο διαδοχικά ακρότατα στο εσωτερικό του ΠΟ να είναι max-max ή min-min θα είναι πχ τότε άρα λόγω της αρχικά δοσμένης σχέσης και κατά συνέπεια θα υπάρχει ακριβώς μία ρίζα της ανάμεσά τους
Τελικά τα μέγιστα θα είναι >0 , τα ελάχιστα <0 , οι ρίζες των αλληλοχωρίζονται και σε κάθε διάστημα σταθερού προσήμου ισχύει σχέση της μορφής [1] ενώ πάνω στις ρίζες ισχύει η [2]
Αυτά προς επανόρθωση του προηγούμενου λάθους μου
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Θετικη Ποσοτητα
papel έγραψε:Δινεται η συνεχης συναρτηση η οποια εχει συνεχη πρωτη και δευτερη παραγωγο.Ζητειται να προσδιοριστουν οι απαραιτητες συνθηκες ωστε η ακολουθη ποσοτητα να ειναι θετικη :
.
Δωστε και ενα παραδειγμα τετοιας συναρτησης.
Σε βιβλίο μου έχω λυμένη την ακόλουθη άσκηση, στο ίδιο μοτίβο.
Ελπίζω να σας φανεί χρήσιμη.
Φιλικά,
Μιχάλης
- Συνημμένα
-
- (p')^2 - pp''.pdf
- (40.62 KiB) Μεταφορτώθηκε 50 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες