Διαφωνια για το συνολο τιμων μιας συναρτησης...

[Nick1990]

Καλησπερα σας.
Πριν λιγες μερες ξεκινησε μια διαφωνια στο φορουμ της σχολης ΕΜΦΕ αναμεσα σε εμενα και εναν συναδελφο, και θα ηθελα να ακουσω τις αποψεις σας επι του θεματος.


Η διαφωνια μας ξεκινησε ως εξης:

Εδωσα μια λυση σε ενα προβλημα θεωρωντας την ελαχιστη τιμη μιας συναρτησης σε καποιο διαστημα [α, β]. Στην υποθεση του προβληματος δεν αναφεροταν πουθενα το οτι η συναρτηση αυτη ειναι συνεχης, υπηρχε ομως η υποθεση οτι η εικονα της συναρτησης αυτης στο κλειστο διαστημα [α, β] ειναι κλειστο διαστημα πεπερασμενου μηκους |β - α|. Απο το τελευταιο θεωρησα οτι η ελαχιστη τιμη προφανως υπαρχει και οτι δεν χρειαζεται καν να εξηγησουμε το γιατι... πραγματι, προφανως f([α, β]) = [μ, μ + |α - β|] (νομιζω οτι εχω καταφερει να εξηγησω αυστηρα αυτο το "προφανως", αλλα θεωρω οτι ειναι τελειως τετριμενο για να το εξηγησω αναλυτικα), ισχυει f(x) >= μ για ολα τα χ στο [α, β], επιπλεον το οτι το μ ανοικει στο f([α, β]) συνεπαγεται οτι υπαρχει κ στο [α, β] ωστε f(κ) = μ, αρα εχουμε ελαχιστη τιμη το μ...

Ο συναδελφος εχει καποιες ενστασεις τις οποιες δεν μπορω να καταλαβω μιας και τα πραγματα εδω μου φαινονται πολυ απλα... και εδω και καιρο προσπαθω να εξηγησω στο συγκεκριμενο τοπικ οτι ο συλογισμος μου ειναι πολυ απλος και 100% ορθος, αλλα ο ιδιος συνεχιζει να εχει ενστασεις.

Η διαφωνια μας ξεκιναει απο το 6ο ποστ εδω: http://www.semfe.gr/forum/viewtopic.php ... 4&start=30
και διαρκει μεχρι την επομενη σελιδα...

Θα ηθελα να ακουσω τις αποψεις σας για το συγκεκριμενο ζητημα
Ευχαριστω, Νικος

[Demetres]

Από την στιγμή που η εκφώνηση λέει ότι η εικόνα του διαστήματος [α,β] είναι κλειστό διάστημα μήκους β-α τότε μπορείς πράγματι να πεις ότι η f έχει στο [α,β] μέγιστο M και ελάχιστο m με .

Φυσικά μπορείς να χρησιμοποιήσεις απευθείας ότι η f είναι Lipschitz (με σταθερά 1) και άρα συνεχής χωρίς να χρειαστεί να αναφερθείς σε μέγιστα και ελάχιστα.

[Mihalis_Lambrou]

Απάντησε επαρκέστατα ο Δημήτρης αλλά, όπως με τους γιατρούς, αν θέλεις δεύτερη γνώμη, σου γράφω την δική μου.

<...> υπηρχε ομως η υποθεση οτι η εικονα της συναρτησης αυτης στο κλειστο διαστημα [α, β] ειναι κλειστο διαστημα

Αυτό και μόνο λέει ότι έχεις δίκιο. Το αριστερό άκρο του διαστήματος ΕΙΝΑΙ η ελάχιστη τιμή και το δεξί ΕΙΝΑΙ η μέγιστη.
Δεν χρειάζεται καν να ξέρεις το μήκος του κλειστού διαστήματος της εικόνας. Φτάνει να ξέρεις ότι, εφόσον είναι πεπερασμένου μήκους, είναι της μορφής [c,d].

ο συλογισμος μου ειναι πολυ απλος και 100% ορθος

Θα έλεγα ... 1000% ορθός.

Φιλικά,

Μιχάλης

[Nick1990]

Ευχαριστω Δημητρη και κ. Λαμπρου.
Πιστευω πως τωρα θα λυθει η διαφωνια.

[Jeronymo Simonstone]

Χαιρετώ και εγώ με την σειρά μου είμαι ο έτερος αντίδικος, χαίρομαι που σας βρίσκω.

Ξεκινάμε με την εξής πρόταση:

η εικονα της συναρτησης αυτης στο κλειστο διαστημα [α, β] ειναι κλειστο διαστημα πεπερασμενου μηκους |β - α|.

Όπως ισχυρίζομαι, είναι διαισθητικά εμφανές ότι τα πράγματα πρέπει να είναι όπως λεει ο Νικ...:

f([α, β]) = [μ, μ + |α - β|] (#)

Μα, για να τεθεί αυστηρά επί τάπητος αυτή η εξίσωση, δηλαδή:

να απαιτήσουμε ότι στο διάστημα f([α, β]) λαμβάνεται η τιμή μ=inf f=f(κάτι)


θα πρέπει να έχουμε μια κάποια υπόθεση παραπάνω, όπως η συνέχεια.

Βέβαια, ως είπε και ο χαμογελαστός συνάδελφος προηγουμένως, έχουμε στο χέρι ότι η f θα είναι Lipschitz, οπότε η συνάρτηση είναι συνεχής και το μ λαμβάνεται...

Μα ο Nικ χρησιμοποιεί αυτήν έκφραση (#) για να αποδείξει την συνθήκη Lipschitz.
Στην δική μου οπτική, ο συλλογισμός του ήταν κυκλικός, από την στιγμή που χρησιμοποίησε την συνέχεια για να λάβει
το μ, και μέσω αυτής συνέχισε την απόδειξη...

Ντάξει, πείτε με ψείρα μα ξέρω πως, μια συνάρτηση που δεν είναι συνεχής, μπορεί να έχει χίλιες δυο ταλαντώσεις και ασυνέχειες - μα και πάλι να λαμβάνει τιμές επί ενός διαστήματος Με βάση αυτό, είπα στον Νικ
ότι θα ήταν ορθότερο, αν είναι να ξεκινήσει με την (#), να αντικαταστήσει το διάστημα [inf f, sup f]
με το [liminf f, limsup f]...

Είπαμε, είμαι ψείρας
...Επαναλαμβάνομαι για να κλείσει η δικολογία μου
διαισθητικά η f είναι Lipschitz και μπορούμε να σταθούμε εκεί για να ξεκινήσουμε την απόδειξη.
Μα δεν είναι αυτή η αφετηρία του Νικ. Εξ ού και η αντίρρησή μου.

Καλή σας νύχτα...

[Μπάμπης Στεργίου]

...........................
Μα δεν είναι αυτή η αφετηρία του Νικ. Εξ ού και η αντίρρησή μου.

Καλή σας νύχτα...

Όπως και να έχει το ζήτημα, οι διαφωνίες και ο διάλογος οδηγούν στη γνώση ! Δεν έχει τελικά καμία σημασία ποιος έχει δίκαιο και ποιος όχι !

Η συνάρτηση , αφού έχει εικόνα κλειστό διάστημα, έχει εξ' ορισμού και μέγιστο και ελάχιστο ! Για τις άλλες λεπτομέρειες, θα βρείτε τον τρόπο για να βάλετε όλα τα πράγματα στη σειρά !

Σας χαιρετώ και τους δύο και σας εύχομαι πάντα φιλικές , ωραίες και γερές ...μαθηματικές αναμετρήσεις ! Για το λόγο αυτό χρειαζόμαστε τους φίλους !Για τις κόντρες !
Μόνο έτσι γινόμαστε καλύτεροι !

Μπάμπης

[Mihalis_Lambrou]

να απαιτήσουμε ότι στο διάστημα f([α, β]) λαμβάνεται η τιμή μ=inf f=f(κάτι)
[/i]

θα πρέπει να έχουμε μια κάποια υπόθεση παραπάνω, όπως η συνέχεια.

Όχι Jeronymo, δεν έχεις δίκιο. Μπερδεύεις τα πράγματα χωρίς λόγo.
Το μήνυμα του Μπάμπη αποσαφηνίζει την κατάσταση αλλά ας πω τα ίδια, με δικά μου λόγια.

Όταν λέμε ότι το σύνολο τιμών της f είναι [c, d] εννοούμε ότι η f λαμβάνει ΟΛΕΣ τις τιμές που περιγράφονται από το [c, d]. Μία από αυτές ΕΙΝΑΙ το c. Τέλος.
Ούτε για infimum μιλάμε ούτε για συνέχεια της f. Το c είναι τιμή της συνάρτησης, και προφανώς η μικρότερη. Τίποτα άλλο. Τα πράγματα είναι απλά.

Φιλικά,

Μιχάλης.

[Jeronymo Simonstone]

Ξανανοίγω...
Μετά τις παρατηρήσεις σας και υστερα από προσεκτική προσωπική ανάλυση (νοτ) του προβλήματος, βλέπω πως έκανα λάθος Τι να κάνω, δεν είμαι ο Πάπας (σ.σ. κρίμα). Ευχαριστώ για την διαφώτιση και συγγνώμη στον Νικ αν τον έπρηξα


Πάμε γι' άλλα, πιο μεγάλα.

[Mihalis_Lambrou]

Ξανανοίγω...
Μετά τις παρατηρήσεις σας και υστερα από προσεκτική προσωπική ανάλυση (νοτ) του προβλήματος, βλέπω πως έκανα λάθος Τι να κάνω, δεν είμαι ο Πάπας (σ.σ. κρίμα). Ευχαριστώ για την διαφώτιση και συγγνώμη στον Νικ αν τον έπρηξα


Πάμε γι' άλλα, πιο μεγάλα.

Ευτυχώς, Jeronymo, ΕΥΤΥΧΩΣ, στη ζωή δεν υπάρχουν Πάπες.

Η όλη υπάρξη του mathematica είναι ο μαθηματικός διάλογος και η χαρά που απορρέει από την ενασχόληση με ωραία θέματα. Όλοι μαθαίνουμε κάτι καινούργι κάθε μέρα. Τι πιο όμορφο;

Όσο για τον Νικ, να μην ανησυχείς. Τον γνώρισα στο SEEMOUS και η ανθρώπινη συμπεριφορά του ήταν εμφανής. Με ένα πηγαίο χαμόγελο την ημέρα της γιορτής του, την Κυριακή, θα επισφραγιστεί η φιλία μας.

Για την ώρα σου εύχομαι Καλά Μαθηματικά και, προπάντων, χάρα στη ζωή.

Φιλικά,

Μιχάλης