Αριθμήσιμο σύνολο 2

pito · #1

Καλημέρα

.

Να δείξετε ότι κάθε συλλογή ανά 2 ξένων μη κενών υποδιαστημάτων του

είναι το πολύ αριθμήσιμο σύνολο.

( Να με συγχωρέσετε αν έχω λάθος στην εκφώνηση γιατί είναι μετάφραση από αγγλικά. Συγκεκριμένα το σύνολο θέλουμε να δείξουμε ότι είναι at most countable όπως αναφέρεται στα αγγλικά)

Edit: Διόρθωσα την εκφώνηση ύστερα από την επισήμανση του κ. Καπελλίδη τον οποίο και ευχαριστώ)

#2

pito έγραψε:Καλημέρα .

Να δείξετε ότι κάθε συλλογή ανά 2 ξένων μη κενών υποδιαστημάτων του είναι αριθμήσιμο σύνολο.

( Να με συγχωρέσετε αν έχω λάθος στην εκφώνηση γιατί είναι μεταφράση από αγγλικά. Συγκεκριμένα το σύνολο θέλουμε να δείξουμε ότι είναι at most countable όπως αναφέρεται στα αγγλικά)

Έστω $\displaystyle{D_i, i \in I}$ , η πιο πάνω συλλογή (οικογένεια)

Από κάθε ένα από τα $\displaystyle{D_i}$ επιλέγω έναν ακριβώς ρητό, έστω $\displaystyle{q_i}$ (Τέτοιος υπάρχει, λόγω της πυκνότητας του

συνόλου των ρητών στους πραγματικούς) και ορίζω την απεικόνιση $\displaystyle{f:I \to \Bbb{Q}}$ με $\displaystyle{f(i)=q_i}$

Επειδή τα διαστήματα είναι ξένα μεταξύ τους η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ , συνεπώς τα σύνολα $\displaystyle{I}$ και $\displaystyle{f(I)}$

είναι ισοδύναμα.

Επειδή $\displaystyle{f(I) \subset \Bbb{Q}}$ , το $\displaystyle{f(I)}$ είναι το πολύ αριθμήσιμο*, άρα το πολύ

αριθμήσιμο θα είναι και το ισοδύναμο του $\displaystyle{I}$ και τελειώσαμε.

at most countable=Το πολύ αριθμήσιμο, δηλαδή πεπερασμένο ή ισοδύναμο με το σύνολο των θετικών ακεραίων

Αριθμήσιμο σύνολο 2

Αριθμήσιμο σύνολο 2

Re: Αριθμήσιμο σύνολο 2

Μέλη σε σύνδεση