Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.

costan · #1

Δείξτε ότι οι παρακάτω σειρές συγκλίνουν και να βρεθεί, αν είναι δυνατόν, το όριο τους.

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n + 3}{3n + 5} \right) ^{2n}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(-1\right)^n \frac{n + 3}{(n +2)(n + 1)}$

Ποιά κριτήρια μπορώ να χρησιμοποιήσω για να αποδείξω ότι συγκλίνουν;

Όταν ζητάει να βρούμε το όριό τους σημαίνει να βρώ την τιμή του (n-οστού) όρου ή θέλει να βρω το άθροισμα της σειράς;

#2

Για την πρώτη χρησιμοποιήσεις το κριτήριο ρίζας του Cauchy.
Για τη δεύτερη, χρησιμοποίησε το κριτήριο Leibniz.

Συνήθως, μιλάμε για άθροισμα σειράς, όχι για όριο της.

Φιλικά,

Αχιλλέας

costan · #3

achilleas έγραψε: Συνήθως, μιλάμε για άθροισμα σειράς, όχι για όριο της.

Η εκφώνηση της άσκησης ζητά "να βρεθεί, αν είναι δυνατόν, το όριο τους" και αυτό με μπερδεύει λίγο.

Για την πρώτη σειρά νομίζω ότι δεν μπορώ να υπολογίσω το άθροισμά της. Σωστά;

#4

achilleas έγραψε:Για την πρώτη χρησιμοποιήσεις το κριτήριο ρίζας του Cauchy.

Μιά μικρή επιφύλαξη γιά τό κριτήριο

-ρίζας του Cauchy, αφού $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\sqrt[n]{\left({\frac{2n + 3}{3n + 5}}\right)^{2n}}=\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\left({\frac{2n + 3}{3n + 5}}\right)^{2}=1$

Γιά τήν δεύτερη, όπως σημειώνει ο Αχιλλέας, λειτουργεί τό κριτήριο Leibnitz. H $\frac{n + 3}{(n +2)(n + 1)}$ είναι φθίνουσα καί μηδενική ακολουθία θετικών.

#5

Για το άθροισμα της δεύτερης ένας τρόπος είναι να παρατηρήσεις ότι

$\displyatyle{x((x+1)\ln( x+1) -x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+3}}{(n+2)(n+1)}}$

για $-1<x\leq 1$ , απ'οπου παίρνουμε

$\displaystyle{-x+(2x+1)\ln (x+1)=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(n+3)x^{n+2}}{(n+2)(n+1)}}}$

Φιλικά,

Αχιλλέας

#6

grigkost έγραψε:
achilleas έγραψε:Για την πρώτη χρησιμοποιήσεις το κριτήριο ρίζας του Cauchy.
Μιά μικρή επιφύλαξη γιά τό κριτήριο -ρίζας του Cauchy, αφού $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\sqrt[n]{\left({\frac{2n + 3}{3n + 5}}\right)^{2n}}=\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\left({\frac{2n + 3}{3n + 5}}\right)^{2}=1$

Ουυπς...σωστά. Δοκίμασε πρώτα να βρείς το όριο

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+3}{3n+5}\right)^{2n}}$

Είναι ίσο με 0;

Φιλικά,

Αχιλλέας

#7

costan έγραψε:
achilleas έγραψε: Συνήθως, μιλάμε για άθροισμα σειράς, όχι για όριο της.
Η εκφώνηση της άσκησης ζητά "να βρεθεί, αν είναι δυνατόν, το όριο τους" και αυτό με μπερδεύει λίγο.

Για την πρώτη σειρά νομίζω ότι δεν μπορώ να υπολογίσω το άθροισμά της. Σωστά;

Επειδή και η σειρά είναι όριο, όταν λέμε " να βρεθεί το όριό της" σημαίνει την τιμή της (το άθροισμά της). Σωστά όμως επισημαίνει ο Αχιλλέας, ο όρος "όριο σειράς" δεν είναι τόσο συνηθισμένος.

Όσο για την εύρεση τoυ δεύτερου αθροίσματος, απάντησε ο Αχιλλέας με πολύ γενικότερο άθροισμα. Αν θέλεις απευθείας το δεδομένο, να μία υπόδειξη: $\frac{n+3}{(n+1)(n+2)}= \frac{2}{n+1}- \frac{1}{n+2}$ . Όταν τώρα γράψεις το μερικό άθροισμα και μαζέψεις ομοιεδείς όρους θα εμφανιστεί η παράσταση $3(1-\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}-\frac{1}{4} + ... +(-1)^{n+1}\frac{1}{n})$ που συγκλίνει στο 3log2.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#8

costan έγραψε:
$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n + 3}{3n + 5} \right) ^{2n}$

Υπόδειξη: $\left(\frac{2n + 3}{3n + 5} \right) ^{2n} = \left(\frac{2}{3} \right) ^{2n}\cdot \left(\frac{1 + \frac{3}{2n}}{1 + \frac{10/3}{2n}} \right) ^{2n}$ .

Παρατήρησε τώρα ότι (από το $(1 + x/m)^m \rightarrow e^x$ ) η μεγάλη παρένθεση δεξιά έχει όριο $\frac{e^3}{e^{10/3}}$ = σταθερά.

Οπότε μπορείς να χρησιμοποιήσεις κριτήριο σύγκρισης, συγκρίνοντας με την συγκλίνουσα $\Sigma \left ( \frac {2}{3} \right ) ^ {2n}$

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#9

achilleas έγραψε:
grigkost έγραψε:
achilleas έγραψε:Για την πρώτη χρησιμοποιήσεις το κριτήριο ρίζας του Cauchy.
Μιά μικρή επιφύλαξη γιά τό κριτήριο -ρίζας του Cauchy, αφού $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\sqrt[n]{\left({\frac{2n + 3}{3n + 5}}\right)^{2n}}=\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\left({\frac{2n + 3}{3n + 5}}\right)^{2}=1$
Ουυπς...σωστά.

Τό λάθος είναι δικό μου Αχιλλέα. Υπολόγισα τό $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\left({\frac{2n + 3}{{\color{red}{2}}n + 5}}\right)^{2}=1$ , αντί τού $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\left({\frac{2n + 3}{3n + 5}}\right)^{2}=\frac{4}{9}$ πού είναι τό σωστό.
Επομένως λειτουργεί καί τό κριτήριο Cauchy.

Y.Γ. Ευχαριστώ τόν Ροδόλφο πού μού επισήμανε τό λάθος.

#10

grigkost έγραψε: Τό λάθος είναι δικό μου Αχιλλέα. Υπολόγισα τό $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\left({\frac{2n + 3}{{\color{red}{2}}n + 5}}\right)^{2}=1$ , αντί τού $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\left({\frac{2n + 3}{3n + 5}}\right)^{2}=\frac{4}{9}$ πού είναι τό σωστό.
Επομένως λειτουργεί καί τό κριτήριο Cauchy.

Y.Γ. Ευχαριστώ τόν Ροδόλφο πού μού επισήμανε τό λάθος.

Οπότε τώρα έχουμε δυο λύσεις! Ωραία!

Αχιλλέας

costan · #11

Για το άθροισμα της πρώτης σειράς. Μπορώ να το υπολογίσω ή μήπως δεν γίνεται:

#12

costan έγραψε:Για το άθροισμα της πρώτης σειράς. Μπορώ να το υπολογίσω ή μήπως δεν γίνεται:

Καλή ερώτηση! Πως μπορούμε να αποδείξουμε ότ είναι αδύνατον να βρούμε το άθροισμα της πρώτης σειράς;

Διασθητικά, φαίνεται ότι δεν μπορούμε εύκολα να το βρούμε.
Μοιάζει με τη σειρά

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n}$ ,

της οποίας το άθροισμα δε γνωρίζω.

Αυτό όμως δεν είναι απόδειξη! Είναι πράγματι αδύνατον να βρούμε το άθροισμα;

Οπότε τίθεται πάλι το ερώτημα πως πρέπει να διατυπώνεται μια άσκηση
και τι περιμένουμε από αυτούς που καλούμε να τη λύσουν.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#13

achilleas έγραψε:
Οπότε τίθεται πάλι το ερώτημα πως πρέπει να διατυπώνεται μια άσκηση
και τι περιμένουμε από αυτούς που καλούμε να τη λύσουν.

Ακριβώς Αχιλλέα. Και εμένα με ξένισε η ερώτηση.

Αν έθετα ο ίδιος το πρόβλημα θα φρόντιζα να γράψω την πρώτη σειρά με γενικό όρο $\left ( \frac{3n+5}{2n+3} \right ) ^{2n}$ αντί του δοθέντος $\left ( \frac{2n+3}{3n+5} \right ) ^{2n}$ . Έτσι η σειρά αποκλίνει, και σώσαμε την τιμή μας...

1/(Φιλικά),

Μιχάλης

Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.

Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.

Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.

Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.

Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.

Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.

Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.

Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.

Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.

Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.

Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.

Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.

Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.

Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.

Μέλη σε σύνδεση