Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.
Δείξτε ότι οι παρακάτω σειρές συγκλίνουν και να βρεθεί, αν είναι δυνατόν, το όριο τους.
Ποιά κριτήρια μπορώ να χρησιμοποιήσω για να αποδείξω ότι συγκλίνουν;
Όταν ζητάει να βρούμε το όριό τους σημαίνει να βρώ την τιμή του (n-οστού) όρου ή θέλει να βρω το άθροισμα της σειράς;
Ποιά κριτήρια μπορώ να χρησιμοποιήσω για να αποδείξω ότι συγκλίνουν;
Όταν ζητάει να βρούμε το όριό τους σημαίνει να βρώ την τιμή του (n-οστού) όρου ή θέλει να βρω το άθροισμα της σειράς;
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.
Για την πρώτη χρησιμοποιήσεις το κριτήριο ρίζας του Cauchy.
Για τη δεύτερη, χρησιμοποίησε το κριτήριο Leibniz.
Συνήθως, μιλάμε για άθροισμα σειράς, όχι για όριο της.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Για τη δεύτερη, χρησιμοποίησε το κριτήριο Leibniz.
Συνήθως, μιλάμε για άθροισμα σειράς, όχι για όριο της.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.
Η εκφώνηση της άσκησης ζητά "να βρεθεί, αν είναι δυνατόν, το όριο τους" και αυτό με μπερδεύει λίγο.achilleas έγραψε: Συνήθως, μιλάμε για άθροισμα σειράς, όχι για όριο της.
Για την πρώτη σειρά νομίζω ότι δεν μπορώ να υπολογίσω το άθροισμά της. Σωστά;
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.
Μιά μικρή επιφύλαξη γιά τό κριτήριο -ρίζας του Cauchy, αφούachilleas έγραψε:Για την πρώτη χρησιμοποιήσεις το κριτήριο ρίζας του Cauchy.
Γιά τήν δεύτερη, όπως σημειώνει ο Αχιλλέας, λειτουργεί τό κριτήριο Leibnitz. H είναι φθίνουσα καί μηδενική ακολουθία θετικών.
Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.
Για το άθροισμα της δεύτερης ένας τρόπος είναι να παρατηρήσεις ότι
για , απ'οπου παίρνουμε
Φιλικά,
Αχιλλέας
για , απ'οπου παίρνουμε
Φιλικά,
Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Κυρ Δεκ 06, 2009 10:18 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.
Ουυπς...σωστά. Δοκίμασε πρώτα να βρείς το όριοgrigkost έγραψε:Μιά μικρή επιφύλαξη γιά τό κριτήριο -ρίζας του Cauchy, αφούachilleas έγραψε:Για την πρώτη χρησιμοποιήσεις το κριτήριο ρίζας του Cauchy.
Είναι ίσο με 0;
Φιλικά,
Αχιλλέας
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.
Επειδή και η σειρά είναι όριο, όταν λέμε " να βρεθεί το όριό της" σημαίνει την τιμή της (το άθροισμά της). Σωστά όμως επισημαίνει ο Αχιλλέας, ο όρος "όριο σειράς" δεν είναι τόσο συνηθισμένος.costan έγραψε:Η εκφώνηση της άσκησης ζητά "να βρεθεί, αν είναι δυνατόν, το όριο τους" και αυτό με μπερδεύει λίγο.achilleas έγραψε: Συνήθως, μιλάμε για άθροισμα σειράς, όχι για όριο της.
Για την πρώτη σειρά νομίζω ότι δεν μπορώ να υπολογίσω το άθροισμά της. Σωστά;
Όσο για την εύρεση τoυ δεύτερου αθροίσματος, απάντησε ο Αχιλλέας με πολύ γενικότερο άθροισμα. Αν θέλεις απευθείας το δεδομένο, να μία υπόδειξη: . Όταν τώρα γράψεις το μερικό άθροισμα και μαζέψεις ομοιεδείς όρους θα εμφανιστεί η παράσταση που συγκλίνει στο 3log2.
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.
costan έγραψε:
Υπόδειξη: .
Παρατήρησε τώρα ότι (από το ) η μεγάλη παρένθεση δεξιά έχει όριο = σταθερά.
Οπότε μπορείς να χρησιμοποιήσεις κριτήριο σύγκρισης, συγκρίνοντας με την συγκλίνουσα
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.
Τό λάθος είναι δικό μου Αχιλλέα. Υπολόγισα τό , αντί τού πού είναι τό σωστό.achilleas έγραψε:Ουυπς...σωστά.grigkost έγραψε:Μιά μικρή επιφύλαξη γιά τό κριτήριο -ρίζας του Cauchy, αφούachilleas έγραψε:Για την πρώτη χρησιμοποιήσεις το κριτήριο ρίζας του Cauchy.
Επομένως λειτουργεί καί τό κριτήριο Cauchy.
Y.Γ. Ευχαριστώ τόν Ροδόλφο πού μού επισήμανε τό λάθος.
Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.
Οπότε τώρα έχουμε δυο λύσεις! Ωραία!grigkost έγραψε: Τό λάθος είναι δικό μου Αχιλλέα. Υπολόγισα τό , αντί τού πού είναι τό σωστό.
Επομένως λειτουργεί καί τό κριτήριο Cauchy.
Y.Γ. Ευχαριστώ τόν Ροδόλφο πού μού επισήμανε τό λάθος.
Αχιλλέας
Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.
Για το άθροισμα της πρώτης σειράς. Μπορώ να το υπολογίσω ή μήπως δεν γίνεται:
Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.
Καλή ερώτηση! Πως μπορούμε να αποδείξουμε ότ είναι αδύνατον να βρούμε το άθροισμα της πρώτης σειράς;costan έγραψε:Για το άθροισμα της πρώτης σειράς. Μπορώ να το υπολογίσω ή μήπως δεν γίνεται:
Διασθητικά, φαίνεται ότι δεν μπορούμε εύκολα να το βρούμε.
Μοιάζει με τη σειρά
,
της οποίας το άθροισμα δε γνωρίζω.
Αυτό όμως δεν είναι απόδειξη! Είναι πράγματι αδύνατον να βρούμε το άθροισμα;
Οπότε τίθεται πάλι το ερώτημα πως πρέπει να διατυπώνεται μια άσκηση
και τι περιμένουμε από αυτούς που καλούμε να τη λύσουν.
Φιλικά,
Αχιλλέας
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύγκλιση σειράς και υπολογισμός ορίου.
Ακριβώς Αχιλλέα. Και εμένα με ξένισε η ερώτηση.achilleas έγραψε:
Οπότε τίθεται πάλι το ερώτημα πως πρέπει να διατυπώνεται μια άσκηση
και τι περιμένουμε από αυτούς που καλούμε να τη λύσουν.
Αν έθετα ο ίδιος το πρόβλημα θα φρόντιζα να γράψω την πρώτη σειρά με γενικό όρο αντί του δοθέντος . Έτσι η σειρά αποκλίνει, και σώσαμε την τιμή μας...
1/(Φιλικά),
Μιχάλης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες