1-Ακολουθία

Α.Κυριακόπουλος · #1

Να αποδείξετε ότι η ακολουθία:
$\displaystyle{{x_\nu } = \sigma \upsilon \nu \left[ {\left( {2\nu - 1} \right)\alpha } \right],\nu = 1,2,...}$ όπου $\displaystyle{0 < \alpha < \frac{\pi }{2}}$ ,
αποκλίνει ( δεν συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό, ούτε στο $\displaystyle{ + \infty }$ , ούτε στο $\displaystyle{ - \infty }$ ).
( Από το βιβλίο Α. Κ. Κυριακόπουλου: «ΑΝΑΛΥΣΗ», τόμους 1, ακολουθίες-Σειρές ,έκδοση 1976, σελίδα 240, άσκηση 757- έχει εξαντληθεί).

mtsarduckas · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Λάθος η λύση, ευχαριστώ πολύ τον κ. Λάμπρου για την υπόδειξη

.

#3

mtsarduckas έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Αν δεν κάνω λάθος οι υπακολουθίες και με $k_1= \frac{k \pi}{a}+\frac{1}{2}$ και $k_2= \frac{k \pi +2a}{4a}$ , συγκλίνουν στο 1 και ο αντίστοιχα επομένως η αποκλίνει.

Χμμμ προσοχή. Το $k_1= \frac{k \pi}{a}+\frac{1}{2}$ μπορεί να μην είναι φυσικός αριθμός.

Μ.

#4

Κατ' αρχήν επειδή $|\cos{x}|\leqslant 1$ για κάθε

, η ακολουθία δεν συγκλίνει ούτε στο $+\infty$ ούτε στο $-\infty$ .

Ας υποθέσουμε λοιπόν πως η ακολουθία συγκλίνει στο $\ell \in \mathbb{R}$ .

Η ισότητα $\cos^2((2n-1)\alpha) + \sin^2((2n-1)\alpha) = 1$ μας δείχνει ότι αν το όριο της $\cos((2n-1)\alpha)$ είναι $\ell$ , τότε το όριο της $\sin^2((2n-1)\alpha)$ είναι $1 - \ell^2$ .

Η ισότητα $\displaystyle{ \left(\cos((2n+1)\alpha) - \cos((2n-1)\alpha)\cos{\alpha} \right)^2 = \sin^2((2n-1)\alpha)\sin{\alpha}}$ μας δείχνει ότι αν το όριο της $\cos((2n-1)\alpha)$ είναι $\ell$ , τότε $\ell^2(1 - \cos \alpha)^2 = (1 - \ell^2)\sin^2 \alpha$ .

Από την τελευταία ισότητα παρατηρούμε ότι $\ell \neq 0$ . Άρα θα υπάρχει

ώστε
- Είτε για κάθε $n \geqslant N$ θα έχουμε $\cos((2n+1)\alpha) < 0$ και άρα $\displaystyle{(2n+1) \alpha \in (\pi/2,3\pi/2) \cup (5\pi/2 \cup 7\pi/2) \cup \cdots }$
- Είτε για κάθε $n \geqslant N$ θα έχουμε $\cos((2n+1)\alpha) > 0$ και άρα $\displaystyle{(2n+1) \alpha \in (-\pi/2,\pi/2) \cup (3\pi/2 \cup 5\pi/2) \cup \cdots }$

Και στις δυο όμως περιπτώσεις βλέπουμε ότι υπάρχει διάστημα

της μορφής $((2k-1)\pi/2,(2k+1)\pi/2)$ ώστε $(2n+1)\alpha \notin I$ για κάθε $n \in \mathbb{N}$ . Αυτό όμως είναι άτοπο επειδή $0 < 2\alpha < \pi$ και το

έχει μήκος $\pi$ .

1-Ακολουθία

1-Ακολουθία

Re: 1-Ακολουθία

Re: 1-Ακολουθία

Re: 1-Ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση