e

#1

Μια απίστευτη(;) σχέση μεταξύ των αριθμών ${\rm{e}}$ , $\phi$ και των συναρτήσεων τού Euler και τού Möbius αποδείχθηκε(*) μόλις πριν δύο χρόνια.
Ελπίζω να την χαρείτε, όπως την χάρηκα και ο ίδιος!

Ισχύει

${\rm{e}}=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{n=1}^{\infty}\bigl({1-\phi^{-n}}\bigr)^{\frac{\mu(n)-\varphi(n)}{n}}\,,$

όπου $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ είναι ο χρυσός λόγος,

$\mu(n)=\left\{{\begin{array}{ll} 0\,,&n\; {\textnormal{\gr διαιρείται με ένα τετράγωνο }} \;>1\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 1\,,&n\; {\textnormal{\gr δεν διαιρείται με ένα τετράγωνο και είναι γινόμενο αρτίου πλήθους διαφορετικών πρώτων }} \\\noalign{\vspace{0.1cm}} -1\,,&n\; {\textnormal{\gr δεν διαιρείται με ένα τετράγωνο και είναι γινόμενο περιττού πλήθους διαφορετικών πρώτων }} \end{array}}\right.$

η συνάρτηση τού Möbius και

$\varphi(n)=n\mathop{\prod}\limits_{p|n}\bigl({1-\frac{1}{p}}\bigr)\,,$

η συνάρτηση $\varphi$ τού Euler.

(*) η απόδειξη θα δημοσιευτεί σε λίγες μέρες.

Υ.Γ. Χρόνια πολλά mathematica.gr

#2

Αρκεί να δείξω ότι $\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n) - \phi(n)}{n}\log(1 - \varphi^{-n}) = 1.}$

Από το ανάπτυγμα Taylor του $\log(1-x)$ αρκεί να δείξω ότι $\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\phi(n) - \mu(n)}{nk} \varphi^{-kn}= 1.}$

Θέτοντας m = kn

παρατηρώ ότι
$\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\phi(n) - \mu(n)}{nk} \varphi^{-kn}= \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n|m} \frac{\phi(n) - \mu(n)}{m} \varphi^{-m}.}$

Όμως $\displaystyle{ \sum_{n|m} \phi(n) = m}$ και $\displaystyle{ \sum_{n|m} \mu(n) = \delta_{1n}.}$ (Αρκετά γνωστά και τα δύο.)

Άρα το άθροισμα ισούται με $\displaystyle{ \sum_{m=2}^{\infty} \varphi^{-m} = \frac{1}{\varphi^2} \frac{1}{1-\varphi^{-1}} = \frac{1}{\varphi^2 - \varphi} = 1}$ όπως θέλαμε να δείξουμε.

#3

Ο τύπος και μια, παρόμοια με του Δημήτρη, λύση δόθηκε πριν δύο χρόνια από τον R. Schneider, ο οποίος και σημειώνει:

"Πριν από μια δεκαετία ο φυσικός Michel Planat, εργαζόμενος πάνω στην επεξεργασία σήματος (signal processing) υπέθεσε, βασιζόμενος σε κάποια πειραματικά αποτελέσματα, ότι υπάρχει μια "βαθιά σχέση" μεταξύ του χρυσού λόγου, της συνάρτησης Möbius και άλλων συναρτήσεων από την αναλυτική θεωρία αριθμών..."

e

e

Re: e

Re: e

Μέλη σε σύνδεση