Σύγκλιση_σειράς_&_όριο_ακολουθίας

Καραδήμας · #1

Δίνεται $f\in C^{\infty }[0,1]$ , η

δεν είναι η μηδενική συνάρτηση, $f^{(k)}(0)=0$ για κάθε $k=0,1,2,\ldots$ . Αν για κάποιους $a_k\in {\mathbb R}$ η $\sum\limits_{k=0}^{\infty }a_kf^{(k)}(x)$ συγκλίνει ομοιομορφα στο [0,1]

τότε να δειχτεί ότι $\lim\limits_{k\to\infty }k!a_k=0$ .

dement · #2

Εστω $f(x) = y \neq 0, \ x \in (0, 1]$ . Τοτε, για καθε $n \in \mathbb{N}$ υπαρχει $\xi_n$ τετοιο ωστε $f^{[n]} (\xi_n) = n! \cdot y \cdot x^{-n}$ (απο θ. Taylor).

Εστω $\epsilon > 0$ τετοιο ωστε $\displaystyle |a_n| \geq \frac{\epsilon}{n!}$ για καποιο n > n_0

με

οσοδηποτε μεγαλο. Τοτε, για οσοδηποτε μεγαλο n_0

υπαρχει

και $\xi_n$ τετοιο ωστε $|a_n \ f^{[n]} (\xi_n)| \geq |\epsilon \cdot y \cdot x^{-n}| \geq \epsilon \cdot |y|$

Αρα η $|a_k f^{[k]} (x)|$ δεν τεινει ομοιομορφα στο

και η σειρα δε συγκλινει ομοιομορφα, οποτε εχουμε ατοπο.

Δημητρης Σκουτερης

#3

Άλλη μια άσκηση του Monthly: E1875 του Samuel Zaidman με λύση από τον Stanton Philipp
στο The American Mathematical Monthly, Vol. 74, No. 7 (Aug. - Sep., 1967), pp. 867-868.

Επίσης, αποτελεί την άσκηση 4.207, σελ. 48 στο βιβλίο των Biler-Witkowski, το οποίο παραπέμπει στο παραπάνω πρόβλημα
του Monthly.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Σύγκλιση_σειράς_&_όριο_ακολουθίας

Σύγκλιση_σειράς_&_όριο_ακολουθίας

Re: Σύγκλιση_σειράς_&_όριο_ακολουθίας

Re: Σύγκλιση_σειράς_&_όριο_ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση