Σημεια ασυνεχειας

dement · #1

Καλημερα. Αυτη η ασκηση ειναι μαλλον δυσκολη για επιπεδο λυκειου αλλα εμενα μου αρεσε.

Δινεται η συναρτηση $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ τετοια ωστε, για καθε $x_0 \in \mathbb{R}$ , υπαρχουν τα πλευρικα ορια $f(x_0-) \equiv \lim_{x \to x_0^-} f(x)$ και $f(x_0+) \equiv \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ με τιμες στο $\mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$ .

Να αποδειχθει οτι το πληθος των σημειων ασυνεχειας της

ειναι το πολυ αριθμησιμο.

Δημητρης

#2

Ίσως να υπάρχει πιο εύκολη λύση, αλλά δεν βρήκα τίποτα πιο απλό:

Για κάθε σημείο ασυνέχειας

και κάθε n, υπάρχει $\delta = \delta(x,n)$ ώστε για κάθε $y \in (x-2\delta,x)$ έχουμε $|f(y) - \lim_{w\to x^- }f(w)| < 1/n$ και για κάθε $y \in (x,x+2\delta)$ έχουμε $|f(y) - \lim_{w\to x^+ }f(w)| < 1/n$ . Τότε, για οποιοδήποτε $z \in (x-\delta,x+\delta)$ με $z \neq x$ έχουμε $|y-z|<\min\{\delta,|z-x|\} \Rightarrow |f(y)-f(z)| < 2/n$ .

Έχουμε βρει δηλαδή ένα διάστημα μήκους 2δ(χ,ν) γύρω από το χ, ώστε για κάθε ζ σε αυτό το διάστημα, (εκτός ίσως από το χ) έχουμε $|\lim_{w \to z^-}f(w) - \lim_{w \to z^+}f(w)| < 4/n$ .

Κοιτάζω τώρα όλα τα χ για το οποία $|\lim_{w \to x^-}f(w) - \lim_{w \to x^+}f(w)| \geq 1/n$ . Όλα τα διαστήματα $(x-\frac{1}{2}\delta(x,n/4),x+\frac{1}{2}\delta(x,n/4))$ έχουν ανά δύο κενή τομή. Από αυτό συμπεραίνω ότι το πλήθος των χ για το οποία $|\lim_{w \to x^-}f(w) - \lim_{w \to x^+}f(w)| \geq 1/n$ είναι αριθημίσιμο. Άρα και το πλήθος των σημείων ασυνέχεις της f είναι αριθμήσιμο.

(Λίγο συμπυκνωμένη η τελευταία παράγραφος. Έχω χρησιμοποιήσει 3-4 φορές ότι αριθμήσιμη ένωση αριθμήσιμων συνόλων είναι αριθμήσιμη.)

#3

W.Rudin ''αρχές μαθηματικής αναλύσεως'' σελ 151-152; Ίσως ο τρόπος που υποδεικνύει να είναι και πιο απλός...
Λέω ίσως γιατί δεν προλαβαίνω να τον παρουσιάσω.. Οι ασχολούμενοι με την ανάλυση υψηλού επιπέδου θα μπορέσουν να την προσεγγίσουν.Πρέπει να πάω για εργασία. Γειά σας!

dement · #4

Εδω δινω τη λυση που βρηκα. Οπως βλεπεις, ειναι παρομοιου μηκους με τη λυση σου, συνονοματε!

Εστω $D \subseteq \mathbb{R}$ το συνολο των σημειων ασυνεχειας της

. Για τυχαιο $x_0 \in D$ θετουμε $y_{max} = \max \left( f(x_0-), f(x_0+), f(x_0) \right)$ και $y_{min} = \min \left( f(x_0-), f(x_0+), f(x_0) \right)$ . Προφανως $y_{min} \neq y_{max}$ και μπορουμε να επιλεξουμε ρητο $q_y \in \left(y_{min}, y_{max} \right) - \{ f(x_0-), f(x_0+) \}$

Στη συνεχεια επιλεγουμε καταλληλο διαστημα $I \equiv (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ τετοιο ωστε, για καθε

με $0 < |x - x_0| < \delta$ να ισχυει |f(x) - q_y| > s > 0

για καποιο θετικο

(ανεξαρτητο του

). Επιλεγουμε ρητο $q_x \in I$ και αντιστοιχιζουμε στο x_0

το διατεταγμενο ζευγος (q_x, q_y)

.

Παρατηρουμε οτι, για οποιαδηποτε αλλη ασυνεχεια $x \in D$ που αντιστοιχιζεται στο (r_x, r_y)

:

- Ειτε $x \notin I$ , οποτε $q_x \neq r_x$ ,
- ειτε $x \in I - \{x_0 \}$ , οποτε εκ κατασκευης $q_y \neq r_y$ .

Αρα, η απεικονιση μας ειναι μια 1-1 απεικονιση απο το

στο $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ και κατα συνεπεια το

ειναι το πολυ αριθμησιμο.

Δημητρης Σκουτερης

Σημεια ασυνεχειας

Σημεια ασυνεχειας

Re: Σημεια ασυνεχειας

Re: Σημεια ασυνεχειας

Re: Σημεια ασυνεχειας

Μέλη σε σύνδεση