Ολοκλήρωμα ΙΙ

Tolaso J Kos · #1

Ας υπολογιστεί το: $\displaystyle{\bigint \frac{x}{\displaystyle 1+\frac{x}{1+\displaystyle \frac{x}{1+\cdots}}}\, dx}$

pprime · #2

Tolaso J Kos έγραψε:Ας υπολογιστεί το: $\displaystyle{\bigint \frac{x}{\displaystyle 1+\frac{x}{1+\displaystyle \frac{x}{1+\cdots}}}\, dx}$

$f\left( x \right)=\frac{x}{1+\frac{x}{1+\frac{x}{1+...}}}=\frac{x}{1+f\left( x \right)}\Leftrightarrow f^{2}\left( x \right)+f\left( x \right)-x=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=\frac{-1+\sqrt{1+4x}}{2}$

Tolaso J Kos · #3

Συνεχίζοντας έχουμε
$\displaystyle{\begin{aligned} \bigint \frac{x}{1+\dfrac{x}{1+\frac{x}{1+\ddots}}} \, {\rm d}x &= \bigintss \frac{\sqrt{1+4x}-1}{2} \, {\rm d}x \\ &=\bigintss \frac{\sqrt{1+4x}}{2} \, {\rm d}x - \frac{1}{2} \int \, {\rm d}x \\ &= \frac{1}{2} \left ( 4x+1 \right )^{3/2} - \frac{x}{2}+c \end{aligned}}$ όπου $c \in \mathbb{R}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

pprime έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:Ας υπολογιστεί το: $\displaystyle{\bigint \frac{x}{\displaystyle 1+\frac{x}{1+\displaystyle \frac{x}{1+\cdots}}}\, dx}$
$f\left( x \right)=\frac{x}{1+\frac{x}{1+\frac{x}{1+...}}}=\frac{x}{1+f\left( x \right)}\Leftrightarrow f^{2}\left( x \right)+f\left( x \right)-x=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=\frac{-1+\sqrt{1+4x}}{2}$

Δεν καταλαβαίνω γιατί να μην είναι $f(x)=\dfrac{-1-\sqrt{4x+1}}{2}$ .
Λέει πουθενά $x\geq 0$ και δεν το βλέπω;

Ολοκλήρωμα ΙΙ

Ολοκλήρωμα ΙΙ

Re: Ολοκλήρωμα ΙΙ

Re: Ολοκλήρωμα ΙΙ

Re: Ολοκλήρωμα ΙΙ

Μέλη σε σύνδεση