Πουθενά παραγωγίσιμες

Καραδήμας · #1

Κάθε συνεχής συνάρτηση $f:[a,b]\to {\mathbb R}$ γράφεται σαν άθροισμα δύο συνεχών πουθενά παραγωγίσιμων συναρτήσεων $g_1,g_2:[a,b]\to {\mathbb R}$ .

#2

Καραδήμας έγραψε:Κάθε συνεχής συνάρτηση $f:[a,b]\to {\mathbb R}$ γράφεται σαν άθροισμα δύο συνεχών πουθενά παραγωγίσιμων συναρτήσεων $g_1,g_2:[a,b]\to {\mathbb R}$ .

Αν g πουθενά παραγωγίσιμη συνεχής συνάρτηση (π.χ. η Weierstrass) θέτουμε $g_1 = (f+g)/2, \, g_2 = (f-g)/2\,$ . Εύκολα βλέπουμε ότι οι $g_1, g_2\,\,$ έχουν τις ζητούμενες ιδιότητες. Π.χ. η μη παραγωγισιμότητα της $g_1 \,\,$ φαίνεται από την ισότητα $g = 2g_1 -f\,\,$ και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#3

Μιχάλη, αν κατάλαβα καλά χρησιμοποίησες ότι η

είναι παραγωγίσιμη το οποίο όμως δεν δίνεται.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ότι το σύνολο

όλων των συνεχών συναρτήσεων στο [a,b]

που είναι σε ένα τουλάχιστον σημείο παραγωγίσιμες είναι αριθμήσιμη ένωση πουθενά πυκνών συνόλων και άρα από το θεώρημα του Baire είναι "μικρό"

Αν λοιπόν η

είναι πουθενά παραγωγίσιμη γράφουμε f = f/2 + f/2

. Αν η

είναι σε τουλάχιστον ένα σημείο παραγωγίσιμη το σύνολο $\{f - g: g \in C[a,b] \setminus A \}$ είναι "μεγάλο". Άρα πρέπει να υπάρχει $g \in C[a,b] \setminus A$ ώστε $f-g \in C[a,b] \setminus A$ . Τότε γράφουμε f = g + (f-g)

.

Και μια απορία: Υπάρχουν ελληνικές ονομασίες για τα meagre,comeagre και non-meagre ή μήπως τα λέμε σύνολα πρώτης κατηγορίας κ.τ.λ;

Καραδήμας · #4

Καλά τα λες Δημήτρη, χρειάζονται βέβαια κάποιες εξηγήσεις (ή είναι τόσο άμεσο αυτό που λες?). Πρώτης-δεύτερης κατηγορίας τα λένε συνήθως στα Ελληνικά. Είναι και κάποιοι που προτείνουν το "ισχνό" και "συν-ισχνό".

#5

Demetres έγραψε:Μιχάλη, αν κατάλαβα καλά χρησιμοποίησες ότι η είναι παραγωγίσιμη το οποίο όμως δεν δίνεται.[/tex].

Δημήτρη, έχεις δίκιο. Τα έγραφα στις 4 το πρωί οπότε ... mea culpa.
Επιβεβαιώνεται η παροιμία "της νύχτας τα καμώματα τα βλέπει η μέρα και γελά".

Φιλικά,

Μιχάλης

Πουθενά παραγωγίσιμες

Πουθενά παραγωγίσιμες

Re: Πουθενά παραγωγίσιμες

Re: Πουθενά παραγωγίσιμες

Re: Πουθενά παραγωγίσιμες

Re: Πουθενά παραγωγίσιμες

Μέλη σε σύνδεση