Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
ΑΣΚΗΣΗ 106
Έστω ένα μη κενό και κλειστό υποσύνολο του (εννοείται με τη συνήθη τοπολογία).
Θεωρούμε την απεικόνιση .
Αποδείξτε ότι το είναι κυρτό αν, και μόνο αν, η είναι κυρτή στο .
Έστω ένα μη κενό και κλειστό υποσύνολο του (εννοείται με τη συνήθη τοπολογία).
Θεωρούμε την απεικόνιση .
Αποδείξτε ότι το είναι κυρτό αν, και μόνο αν, η είναι κυρτή στο .
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Έστω μη κυρτό και έστω σημεία και στο εσωτερικό του με . Τότε και λόγω κλειστότητας. Άρα η είναι μη κυρτή.
Έστω κυρτό, και με . Ορίζουμε με και (υπάρχουν λόγω κλειστότητας) και θέτουμε και . Ισχύει λόγω κυρτότητας.
Τότε . Άρα η είναι κυρτή.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Πού είσαι βρε Δημήτρη!!dement έγραψε:...
Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Όπως φαίνεται και από την απόδειξη του Δημήτρη
το αποτέλεσμα ισχύει οποία νόρμα και να πάρουμε.
το αποτέλεσμα ισχύει οποία νόρμα και να πάρουμε.
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Ακόμη ένας τρόπος (σχεδόν ίδιος)dement έγραψε:
Έστω μη κυρτό και έστω σημεία και στο εσωτερικό του με . Τότε και λόγω κλειστότητας. Άρα η είναι μη κυρτή.
Υποθέτουμε ότι η είναι κυρτή στο . Θα δείξουμε ότι το είναι κυρτό.
Θεωρούμε και . Τότε, και
επειδή η είναι κυρτή έχουμε
οπότε , όπως θέλαμε.
τελευταία επεξεργασία από BAGGP93 σε Τετ Απρ 13, 2016 6:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Γεια σου γίγαντα Τάσο. Χαίρομαι που έχεις πάντα το ίδιο άβαταρ.Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Πού είσαι βρε Δημήτρη!!dement έγραψε:...
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
ΑΣΚΗΣΗ 107
Αν είναι ένας απειροδιάστατος χώρος και
είναι μια γραμμική, 1-1 και επί απεικόνιση, δείξτε ότι η δεν είναι συμπαγής.
ΑΣΚΗΣΗ 108
Αν με σύνολο ριζών το ,
τότε αποδείξτε ότι κάθε ρίζα της παραγώγου ανήκει στην κυρτή θήκη του .
Αν είναι ένας απειροδιάστατος χώρος και
είναι μια γραμμική, 1-1 και επί απεικόνιση, δείξτε ότι η δεν είναι συμπαγής.
ΑΣΚΗΣΗ 108
Αν με σύνολο ριζών το ,
τότε αποδείξτε ότι κάθε ρίζα της παραγώγου ανήκει στην κυρτή θήκη του .
Παπαπέτρος Ευάγγελος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Με χρήση τωνBAGGP93 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 107
Αν είναι ένας απειροδιάστατος χώρος και
είναι μια γραμμική, 1-1 και επί απεικόνιση, δείξτε ότι η δεν είναι συμπαγής.
α) Το γινόμενο συμπαγούς επί οποιονδήποτε τελεστή είναι συμπαγής,
β) Αν ο είναι αντιστρέψιμος τελεστής (δηλαδή φραγμένος) τότε και ο είναι φραγμένος.
Αν, λοιπόν, ο ήταν συμπαγής και αντιστρέψιμος, τότε θα ήταν συμπαγής και ο . Αλλά τότε η μοναδιαία σφαίρα θα ήταν συμπαγές σύνολο, άτοπο στους απειροδιάστατους (Riesz).
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Πρόκειται για το Θεώρημα Gauss-Lucas.BAGGP93 έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 108
Αν με σύνολο ριζών το ,
τότε αποδείξτε ότι κάθε ρίζα της παραγώγου ανήκει στην κυρτή θήκη του .
Είναι αρκετά γνωστό θεώρημα, καθώς υπάρχει σε όλα τα προχωρημένα βιβλία Θεωρίας Πολυωνύμων. Βλέπε άλλωστε απόδειξη εδώ
Ας προσθέσω ότι η ειδική περίπτωση πολυωνύμου τρίτου βαθμού έχει μία πολλή κομψή ισχυροποίηση, γνωστή ως Θεώρημα Marden που λέει ότι οι (δύο) ρίζες του είναι οι εστίες της έλλειψης που εφάπτεται στο τρίγωνο που ορίζουν οι ρίζες του . Είμαι σίγουρος ότι το Google θα δώσει άριστες παραπομπές (δεν το ψάχνω).
Επίσης ένα βήμα παραπέρα είναι η λεγόμενη εικασία του Sendov, η οποία έχει αποδειχθεί για διάφορες μικρές τιμές του βαθμού του . Αξιοσημείωτη συμβολή σε αυτή την κατεύθυνση είναι από τον Μανώλη Κατσοπρινάκη, συνταξιούχο σήμερα Καθηγητή στο Μαθηματικό Κρήτης.
Μ.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
-
- Δημοσιεύσεις: 412
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Προτείνω την ακόλουθη ενδιαφέρουσα άσκηση :
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει με τις εξής ιδιότητες :
1)
2) Αν και τότε
3) Aν με συμβολίζουμε τον υποχώρο όλων των συγκλινουσών ακολουθιών, τότε για κάθε
Φιλικά,
Νίκος
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει με τις εξής ιδιότητες :
1)
2) Αν και τότε
3) Aν με συμβολίζουμε τον υποχώρο όλων των συγκλινουσών ακολουθιών, τότε για κάθε
Φιλικά,
Νίκος
Νίκος Αθανασίου
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Νίκο, πρόκειται για τα λεγόμενα Banach Limits (βλέπε π.χ. εδώ) τα οποία είναι αρκετά στάνταρ θεωρία στα βιβλία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Η απόδειξη γίνεται με χρήση του Θεωρήματος Hahn-Banach.nickthegreek έγραψε:Προτείνω την ακόλουθη ενδιαφέρουσα άσκηση :
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει με τις εξής ιδιότητες :
1)
2) Αν και τότε
3) Aν με συμβολίζουμε τον υποχώρο όλων των συγκλινουσών ακολουθιών, τότε για κάθε
Φιλικά,
Νίκος
Μπορούμε ακόμη να βρούμε τέτοιο συναρτησοειδές που ικανοποεί επιπλέον κάποια συνθήκη "θετικότητας" (βλέπε την συνθήκη 2 στην παραπάνω παραπομπή). Τέλος, αν θυμάμαι καλά (αλλά ομολογώ ότι είμαι κουρασμένος μετά από ολοήμερο ταξίδι στο εξωτερικό, και δεν το ψάχνω) υπάρχουν τέτοια συναρτησοειδή.
-
- Δημοσιεύσεις: 412
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Ευχαριστώ κύριε Μιχάλη! Δεν γνώριζα ότι υπάρχει ειδική ορολογία για το συγκεκριμένο συναρτησοειδές. Δίνω και τη λύση μου για να κλείσει η άσκηση :Mihalis_Lambrou έγραψε:Νίκο, πρόκειται για τα λεγόμενα Banach Limits (βλέπε π.χ. εδώ) τα οποία είναι αρκετά στάνταρ θεωρία στα βιβλία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Η απόδειξη γίνεται με χρήση του Θεωρήματος Hahn-Banach.nickthegreek έγραψε:Προτείνω την ακόλουθη ενδιαφέρουσα άσκηση :
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει με τις εξής ιδιότητες :
1)
2) Αν και τότε
3) Aν με συμβολίζουμε τον υποχώρο όλων των συγκλινουσών ακολουθιών, τότε για κάθε
Φιλικά,
Νίκος
Μπορούμε ακόμη να βρούμε τέτοιο συναρτησοειδές που ικανοποεί επιπλέον κάποια συνθήκη "θετικότητας" (βλέπε την συνθήκη 2 στην παραπάνω παραπομπή). Τέλος, αν θυμάμαι καλά (αλλά ομολογώ ότι είμαι κουρασμένος μετά από ολοήμερο ταξίδι στο εξωτερικό, και δεν το ψάχνω) υπάρχουν τέτοια συναρτησοειδή.
Λήμμα : Έστω χώρος με νόρμα και υποχώρος. Έστω τέτοιο ώστε . Τότε υπάρχει τέτοιο ώστε , και
Απόδειξη : Θέτω και ορίζω ένα συναρτησοειδές στο ως εξής : . Αν έχουμε οπότε . Όμως για έχω . Παίρνω το infimum ως προς και συμπεραίνω ότι . Άρα . To ζητούμενο τώρα προκύπτει από μια μορφή του Hahn - Banach .
Πίσω στην άσκηση, θέτω και . Τότε (γιατί;) . Άρα υπάρχει σύμφωνα με το λήμμα συναρτησοειδές που ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος. Για την χρειάζεται λίγη περισσότερη δουλειά. Παρατηρήστε ότι ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι όπου με συμβολίζουμε τον υποχώρο των ακολουθιών που συγκλίνουν στο μηδέν. Γρήγορα σκεφτόμαστε ότι το πρόβλημα θα λυνόταν αν . Κάτι τέτοιο όμως δεν ισχύει! Δοκιμάζουμε λοιπόν τον υποχώρο των ακολουθιών αυτών που έχουν πεπερασμένες μη μηδενικές "συντεταγμένες". Εύκολα προκύπτει ότι και έχουμε ότι . Το ζητούμενο έπεται.
Τα παραπάνω τα έγραψα λίγο βιαστικά και θεωρώ ότι το πρόβλημα είναι πιο δύσκολο από ότι οι λίγες σειρές λύσης το κάνουν να φαίνεται...
Φιλικά,
Νίκος
Νίκος Αθανασίου
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
ΑΣΚΗΣΗ 110
Να αποδείξετε ότι το σύνολο , όπου
είναι χώρος , είναι ανοικτό υποσύνολο της άλγεβρας , .
Να αποδείξετε ότι το σύνολο , όπου
είναι χώρος , είναι ανοικτό υποσύνολο της άλγεβρας , .
Παπαπέτρος Ευάγγελος
-
- Δημοσιεύσεις: 412
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
BAGGP93 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 110
Να αποδείξετε ότι το σύνολο , όπου
είναι χώρος , είναι ανοικτό υποσύνολο της άλγεβρας , .
Γεια σου Βαγγέλη,
Γενικά αν έχουμε μια Banach άλγεβρα με μονάδα και συμβολίζουμε με το σύνολο των αντιστρέψιμων στοιχείων τότε το είναι ανοικτό. Για την απόδειξη, μπορεί κάποιος να αποδείξει ότι αν τότε το είναι αντιστρέψιμο και . H απόδειξη αυτού γίνεται με χρήση της σειράς και έχει ξαναγίνει νομίζω σε αυτό το topic, οπότε δεν τη δίνω.
Στο θέμα μας τώρα, αν έχουμε τότε το είναι αντιστρέψιμο! Γιατί έχουμε και από το παραπάνω το είναι αντιστρέψιμο και άρα το ίδιο ισχύει και για το .
Ας προτείνω μερικές ακόμη γνωστές ιδιότητες για επίλυση :
ΑΣΚΗΣΗ 111
Έστω μια Banach άλγεβρα με μονάδα.
1) H πράξη είναι συνεχής
2) Αν και τότε
3) Αν τότε το έχει τοπολογικούς μηδενοδιαιρέτες , δηλαδή απλά υπάρχει ακολουθία στη μοναδιαία σφαίρα του τέτοια ώστε και .
Φιλικά,
Νίκος
Νίκος Αθανασίου
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Θεωρώ ότι για αυτούς που γνωρίζουν η άσκηση 112 είναι εύκολη.
Καλό είναι για αυτούς που δεν γνωρίζουν να αποδειχθεί ότι υπάρχει και αρίθμηση
των ρητών ώστε να ισχύει η ισότητα.
(θεωρώ ότι τεχνικά είναι πιο δύσκολο)
Καλό είναι για αυτούς που δεν γνωρίζουν να αποδειχθεί ότι υπάρχει και αρίθμηση
των ρητών ώστε να ισχύει η ισότητα.
(θεωρώ ότι τεχνικά είναι πιο δύσκολο)
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Γεια σας κύριε Σταύρο. Έχετε δίκιο. Δεν γνώριζα την άσκηση, η λύση που έχω μου φαίνεται εξαιρετική, αλλά δεν θα τη σκεφτόμουν μόνος μου.
Επίσης, δεν έχω απάντηση και για το άλλο ερώτημα που θέτετε.
Απαντώ με άλλη μια άσκηση
ΑΣΚΗΣΗ 113
Έστω . Αποδείξτε ότι αν είναι ένα μετρήσιμο υποσύνολο του
με , τότε .
Με συμβολίζουμε το μέτρο στο .
Επίσης, δεν έχω απάντηση και για το άλλο ερώτημα που θέτετε.
Απαντώ με άλλη μια άσκηση
ΑΣΚΗΣΗ 113
Έστω . Αποδείξτε ότι αν είναι ένα μετρήσιμο υποσύνολο του
με , τότε .
Με συμβολίζουμε το μέτρο στο .
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Γεια σου Νίκο.nickthegreek έγραψε:
Ας προτείνω μερικές ακόμη γνωστές ιδιότητες για επίλυση :
ΑΣΚΗΣΗ 111
Έστω μια Banach άλγεβρα με μονάδα.
1) H πράξη είναι συνεχής
2) Αν και τότε
3) Αν τότε το έχει τοπολογικούς μηδενοδιαιρέτες , δηλαδή απλά υπάρχει ακολουθία στη μοναδιαία σφαίρα του τέτοια ώστε και .
Θα δείξουμε αρχικά ότι ο πολλαπλασιασμός είναι συνεχής απεικόνιση. Έστω .
Θεωρούμε ακολουθίες ώστε .
Τότε, οι ακολουθίες αυτές είναι φραγμένες, έστω από τους αριθμούς , αντίστοιχα.
Για κάθε έχουμε
και το αριστερό μέλος συγκλίνει προς το μηδέν. Άρα, έχουμε το ζητούμενο.
Το γεγονός ότι η αντιστροφή είναι συνεχής απεικόνιση έπεται από το ακόλουθο Λήμμα .
Αν και με , τότε
και .
Από τα παραπάνω έπεται ότι η είναι τοπολογική ομάδα.
2. Αφού (διότι αλλιώς, ), έπεται ότι
.
Παρατήρηση : διότι ενώ .
3. Ίδιο σκεπτικό με το 2. και θέτουμε .
Θα επανέλθω πιο αναλυτικά.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Πιο αναλυτικά για το 3.
Αφού , ( - ανοιχτό), έπεται ότι
αλλά υπάρχει ακολουθία στοιχείων του τέτοια, ώστε .
Όπως στο 2. έχουμε και άρα,
.
Θέτουμε, με και
. Επίσης, .
Άρα, το έχει τοπολογικούς διαιρέτες.
Αφού , ( - ανοιχτό), έπεται ότι
αλλά υπάρχει ακολουθία στοιχείων του τέτοια, ώστε .
Όπως στο 2. έχουμε και άρα,
.
Θέτουμε, με και
. Επίσης, .
Άρα, το έχει τοπολογικούς διαιρέτες.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες