ένωση κλειστών διαστημάτων

#1

Καλή μέρα και καλό μήνα σε όλες και σε όλους. Έχω το εξής ωραίο θέμα το οποίο διαισθητικά είναι μάλλον προφανές:
Να αποδειχθεί ότι το [0,1] δεν μπορεί γραφεί ως ένωση μιας οικογένειας ξένων ανά δύο κλειστών διαστημάτων
Φιλικά

#2

Σπύρο, δυο παρατηρήσεις:

1) Επειδή το [0,1]

είναι κλειστό διάστημα, θες επιπλέον να υπάρχουν τουλάχιστον δύο (μη κενά) διαστήματα.
2) Φαντάζομαι δεν θεωρείς τα μονοσύνολα σαν διαστήματα.

Να δώσω μια γενίκευση: Να δειχθεί ότι το $\mathbb{R}$ δεν μπορεί να διαμεριστεί σε αριθμήσιμο αριθμό (αλλά τουλάχιστον δύο) μη κενών κλειστών συνόλων.

#3

Δημήτρη είναι όπως το λές
1. Δεν θεωρώ τα μονοσύνολα ως διαστήματα
2. Θέλω τουλάχιστον δύο γιατί αλλιώς το πρόβλημα έχει προφανή αρνητική απάντηση.

#4

Υπόδειξη για τη λύση:

Η ιδιότητα κλειδί είναι η "συνεκτικότητα" (connected, που σε κάποια ελληνικά βιβλία Τοπολογίας μεταφράζεται ως "συνάφεια").

Στην απόδειξη εμφανίζεται καθαρά γιατί (όπως τόνισε ο Δημήτρης) χρειαζόμαστε τουλάχιστον δύο σύνολα.

Μ.

#5

Demetres έγραψε:
Να δώσω μια γενίκευση: Να δειχθεί ότι το $\mathbb{R}$ δεν μπορεί να διαμεριστεί σε αριθμήσιμο αριθμό (αλλά τουλάχιστον δύο) μη κενών κλειστών συνόλων.

Όμορφο το πρόβλημα σου Δημήτρη, έψαχνα ώρες για τη λύση του και όταν ήμουν έτοιμος να τα παρατήσω κάτι βρήκα:
Κατ'αρχάς η διαμέριση πρέπει να έχει άπειρο πλήθος κλειστών συνόλων, γιατί στην αντίθετη περίπτωση που τα σύνολα είναι : $K_{1},K_{2},...,K_{m}$ τότε το $K_{2} \cup K_{3}\cup...\cup K_{m}$ είναι κλειστό, άρα το $K_{1}$ είναι ανοικτό και κλειστό, άτοπο.
Έστω K(n)

,

μη αρνητικός ακέραιος μία τέτοια διαμέριση του $\mathbb{R}$ και $x \in K(0), y \notin K(0)$ . Υποθέτουμε πως x<y

και θεωρούμε $a_{0}=sup (K(0) \cap (- \infty, y))$ . Έχουμε $a_{0} \in K(0)$ , λόγω της κλειστότητας και $K(0)\cap(a_{0},y)=\varnothing$ . Έστω τώρα $i_{1}$ ο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο $K({i_{1}}) \cap (a_{0},y) \neq \varnothing$ , τότε θέτουμε $b_{0}=inf(K(i_{1}) \cap (a_{0},y))$ . Έχουμε $b_{0} \in K(i_{1}), a_{0}<b_{0}$ και τα $K(i), i\leq i_{1}$ δεν τέμνουν το $(a_{0},b_{0})$ . Συνεχίζουμε παίρνοντας $i_{2}$ τον μικρότερο θετικό ακέραιο για τον οποίο $K(i_{2}) \cap (a_{0},b_{0}) \neq \varnothing$ και θέτουμε $a_{1}=sup(K(i_{2}) \cap (a_{0},b_{0}))$ . Προφανώς $a_{1} \in K(i_{2}), a_{0}<a_{1}<b_{0}$ και τα $K(i), i\leq i_{2}$ δεν τέμνουν το $(a_{1},b_{0})$ . Έστω $i_{3}$ ο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο $K(i_{3}) \cap (a_{1},b_{0})\neq \varnothing$ , θέτουμε $b_{1}=inf(K(i_{3}) \cap(a_{1},b_{0}))$ , οπότε $b_{1} \in K(i_{3}), a_{0}<a_{1}<b_{1}<b_{0}$ και τα $K(i), i\leq i_{3}$ δεν τέμνουν το $(a_{1}, b_{1})$ .
Έτσι συνεχίζοντας προκύπτει μία ακολουθία κλειστών και κιβωτισμένων διαστημάτων $[a_{i_{n}},b_{i_{n}}]$ . Αν $x\in \cap_{n=1}^\infty [a_{i_{n}},b_{i_{n}}]$ , τότε εκ της κατασκευής των κιβωτισμένων διαστημάτων θα έχουμε $x \notin K(n), \forall n$ , άτοπο.
Υ.Γ Δεν βλέπω όμως πως η παραπάνω τεχνική μπορεί να επιλύσει το δικό μου πρόβλημα, γιατί εδώ έχουμε ακολουθία, ενώ εκεί οικογένεια, που σημαίνει ότι το πλήθος των δεικτών μπορεί να είναι και υπεραροθμήσιμο. Τελοσπάντων έχω μία λύση, η οποία επίσης με παιδεψε πολύ, αλλά θα περιμένω...

#6

Σπύρο, ακριβώς αυτήν την λύση είχα και εγώ υπόψη μου.

s.kap έγραψε: Υ.Γ Δεν βλέπω όμως πως η παραπάνω τεχνική μπορεί να επιλύσει το δικό μου πρόβλημα, γιατί εδώ έχουμε ακολουθία, ενώ εκεί οικογένεια, που σημαίνει ότι το πλήθος των δεικτών μπορεί να είναι και υπεραροθμήσιμο. Τελοσπάντων έχω μία λύση, η οποία επίσης με παιδεψε πολύ, αλλά θα περιμένω...

Η οικογένεια πρέπει να έχει αριθμήσιμο πλήθος: Αν A_n

είναι το σύνολο όλων των κλειστών διαστημάτων μήκους τουλάχιστον 1/n

, τότε $|A_n| \leqslant n$ και αφού η οικογένεια είναι η ένωση των A_n

είναι αριθμήσιμη.

#7

Δημήτρη καλημέρα. Σωστά. Έχω και λύση που δεν χρησιμοποιεί την αριθμησιμότητα του πλήθους των δεικτών. Θα τη γράψω προσεχώς γιατί τώρα είμαι πτώμα. Έκανα 1 ώρα + για να γράψω στο LAΤEX την παραπάνω λύση. Βλέπεις τώρα μαθαίνω
Φιλικά

#8

Να δώσω μια διαφορετική λύση στο πρόβλημα που έθεσα:
Η λύση στηρίζεται στο ότι οι διαχωρίσιμοι τοπολογικοί χώροι ικανοποιούν τη λεγόμενη αριθμήσιμη συνθήκη αλυσίδας, σύμφωνα με την οποία κάθε οικογένεια ξένων μεταξύ τους ανοικτών συνόλων είναι το πολύ αριθμήσιμη.
Έστω $[a_{i}, b_{i}], i\in I$ μία οικογένεια κλειστών και ξένων διαστημάτων (προφανώς τουλάχιστον δύο) με την ιδιότητα $\cup _{i \in I}[a_{i},b_{i}]=[0,1]$ . Θεωρούμε το σύνολο

των άκρων των παραπάνω διαστημάτων και έχουμε
1. Το

είναι κλειστό ως συμπλήρωμα του ανοικτού $\cup_ {i \in I}(a_{i},b_{i})$
2. Το

δεν έχει μεμονωμένα στοιχεία: Αν κάποιο αριστερό άκρο $a_{i}$ είναι μεμονωμένο, τότε θα υπάρχει $\varepsilon>0$ ώστε $(-\varepsilon +a_{i}, a_{i}+\varepsilon) \cap A= \varnothing$ , τότε $\cup _{i\in I}[a_{i},b_{i}] \cap (-\varepsilon+a_{i},a_{i})=\varnothing$ , άτοπο, γιατί τότε θα υπάρχει ένα μέρος του [0,1]

, που δεν καλύπτεται από τα παραπάνω κλειστά διαστήματα. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι δεν μπορεί να είναι μεμονωμένο ένα δεξιό άκρο $b_{i}$ . Άρα όλα τα σημεία του

είναι οριακά, δηλαδή το

είναι τέλειο, συνεπώς υπεραριθμήσιμο, το οποίο είναι άτοπο (αντίκειται στη συνθήκη της αριθμήσιμης αλυσίδας).
Φιλικά

ένωση κλειστών διαστημάτων

ένωση κλειστών διαστημάτων

Re: ένωση κλειστών διαστημάτων

Re: ένωση κλειστών διαστημάτων

Re: ένωση κλειστών διαστημάτων

Re: ένωση κλειστών διαστημάτων

Re: ένωση κλειστών διαστημάτων

Re: ένωση κλειστών διαστημάτων

Re: ένωση κλειστών διαστημάτων

Μέλη σε σύνδεση