Απο spivak

Kostas Tzimoulias · #1

Ξεκίνησα να μελετώ από το βιβλίο του Spivak. Ωστόσο η πρώτη ενότητα που τελείωσα έχει κάποιες ασκήσεις μιας λογικής που δεν έχω συναντήσει και είναι κάπως παράξενες καθώς δεν ξέρω αν πρέπει να χρησιμοποιήσω συναρτήσεις αφού δεν έχουν εισαχθεί.
$\cdot$ να λυθεί η x+3^x<4

μόνο με τις βασικές ιδιότητες των αριθμών. ( Σκέφτηκα ότι 3^x>0

και

για να υπάρχει διάστημα λύσεων)
$\cdot$ Αν x^n=y^n

με n περιττό τότε x=y

( εδώ σκέφτομαι ότι θα χρησιμοποιήσω το ανάπτυγμα τις ταυτότητας και θα αποδείξω ότι ο όρος $(x^{n-1}+x^{n-2}y+...y^n-1)$ δεν μηδενίζεται που μου φάινεται προφανές..θα χρησιμοποιήσω επαγωγή?)
$\cdot$ Στην περίπτωση όπου

άρτιος φαντάζομαι θα κινηθώ όμοια. Όμως αυτή τη φορά ο παραπάνω παράγοντας μηδενίζεται. Αυτό φαίνεται δίνοντας τιμές στο n όμως δεν εχω βρει κάποια αυστηρή απόδειξη στηριζόμενος μόνο στις ιδιότητες της πρόσθεσης και της αφαίρεσης.
Ισως αυτόν τον καιρό να ανεβάζω πιο συχνά τέτοιες ασκήσεις μέχρι να εξοικειωθώ λίγο..γενικώς το πρώτο κεφάλαιο μου φαίνεται κάπως απρόσιτο όσον αφορά τις ασκήσεις και απ'οτι είδα στην επόμενη ενότητα <<Αριθμόι διαφόρων ειδών>> έχει ακόμα πιο ωραίες αλλά τσιμπημένες ασκήσεις. Ελπίζω να μην κουράζω.

#2

Kostas Tzimoulias έγραψε: $\cdot$ να λυθεί η μόνο με τις βασικές ιδιότητες των αριθμών.

Καλησπέρα Κώστα! Τι εννοείς "μόνο με τις βασικές ιδιότητες των αριθμών";
Πάντως με απλές ιδιότητες συναρτήσεων η συγκεκριμένη μπορεί να παράγει λύση.

Kostas Tzimoulias · #3

chris_gatos έγραψε:
Kostas Tzimoulias έγραψε: $\cdot$ να λυθεί η μόνο με τις βασικές ιδιότητες των αριθμών.
Καλησπέρα Κώστα! Τι εννοείς "μόνο με τις βασικές ιδιότητες των αριθμών";
Πάντως με απλές ιδιότητες συναρτήσεων η συγκεκριμένη μπορεί να παράγει λύση.

ναι εννοείται μπορώ να τη λύσω. το θέμα ειναι ότι η πρώτη ενότητα απλά αποδεικνύει τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Δηλαδή επιμεριστική,προσετεριστική αντιμεταθετική και εισάγει τα ουδέτερα στοιχεία των πράξεων αυτών και τρεις βασικές προτάσεις (νόμος τριχοτόμησης,κλειστότητας ως προς την πρόσθεση,κλειστότητας ως προς τον πολλαπλασιασμό) που απο αυτές λέει ότι παράγονται όλες οι ιδιότητες των ανισοτήτων . Οπότε φαντάζομαι πρέπει να τη λύσω με αυτές που δίνει μόνο

#4

Kostas Tzimoulias έγραψε: ναι εννοείται μπορώ να τη λύσω. το θέμα ειναι ότι η πρώτη ενότητα απλά αποδεικνύει τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Δηλαδή επιμεριστική,προσετεριστική αντιμεταθετική και εισάγει τα ουδέτερα στοιχεία των πράξεων αυτών και τρεις βασικές προτάσεις (νόμος τριχοτόμησης,κλειστότητας ως προς την πρόσθεση,κλειστότητας ως προς τον πολλαπλασιασμό) που απο αυτές λέει ότι παράγονται όλες οι ιδιότητες των ανισοτήτων . Οπότε φαντάζομαι πρέπει να τη λύσω με αυτές που δίνει μόνο

Ε, τότε Κώστα πάρε τρείς περιπτώσεις. x>1,x=1,x<1

Kostas Tzimoulias · #5

σωστά ναι...δε το σκέφτηκα έτσι. Ευχαριστώ πολύ για τα άλλα που μου φαίνονται πιο ωραίες ασκήσεις.? ( μια υπόδειξη παραπάνω απο αυτά που έγραψα σε μπλε)

dement · #6

Πώς όμως θα αποδείξεις ότι 3^x > 3

για

όταν ο

είναι πραγματικός; Η λογική σειρά θα ήταν, νομίζω, να αποδειχθεί η ύπαρξη και η μοναδικότητα της εκθετικής $\exp (x)$ (από το ΠΑΤ f'(x) = f(x), f(0) = 1

) και στη συνέχεια να οριστεί η 3^x

ως $\exp (x \ln 3)$ . Εκτός αν ο

θεωρείται ακέραιος ή αν δεν βλέπω κάτι.

Kostas Tzimoulias · #7

δε θεωρείται ακέραιος. και δεν έχει εισαχθεί η έννοια της συναρτήσης αυτό με προβληματίζει

Epimenides · #8

Ως εξίσωση έχει προφανή ρίζα τη x=1

Συνεπώς μπορούμε να διακρίνουμε περιπτώσεις
$0<x<1 \Rightarrow 3^{x}<3$
x<1

άρα $3^{x}+x<4$

$x<0\Rightarrow 3^{x}<1<3$
x<0<1

άρα $3^{x}+x<4$
$x>1 \Rightarrow 3^{x} > 1$
x>1

άρα $3^{x}+x<4$
Επομένως η ανισότητα ισχύει για x<1

dement · #9

Κάτι άλλο που μπορεί να γίνει είναι να ορίσεις κατά το σύνηθες την 3^x

στους ρητούς (αποδεικνύοντας την ύπαρξη των ριζών με το supremum) και στη συνέχεια να ορίσεις (κάπως αυθαίρετα) $3^{\sup A} \equiv \sup \{3^x : x \in A \}$ για τις τιμές στους υπόλοιπους πραγματικούς. Μη ξέροντας ποια δεδομένα υποθέτει το βιβλίο δε νομίζω ότι μπορώ να πω κάτι άλλο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Κατά αρχήν να λύσω την απορία του Κώστα.
Ο Spivak θεωρεί ότι ο αναγνώστης του γνωρίζει τις βασικές ιδιότητες των αριθμών.
Το λέει και μέσα στο βιβλίο.
Ετσι η άσκηση λύνεται όπως θα την έλυνε ένας μαθητής της δικής μας Β Λυκείου.

Το βιβλίο έχει πρωτότυπο τίτλο Calculus και η πρώτη έκδοση του έχει γίνει το 1967.
Απευθύνεται σε πρωτοετείς φοιτητές Αμερικανικών πανεπιστημίων.
Το επίπεδο του ως προς αυτό είναι πολύ υψηλό.
Το βιβλίο το είχα διαβάσει το 1977.(Τότε δεν υπήρχε η μετάφραση)
Είναι μακράν το πιο καλογραμμένο βιβλίο που έχω διαβάσει.

Kostas Tzimoulias · #11

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις..Για τα άλλα 2 έχετε κάποια μικρή υπόδειξη εκτός απο αυτή που έχω γράψει σε μπλε? Δεν εχω διδαχτεί επαγωγή αλλά μάλλον προς εκεί μου φαίνεται οτι πρέπει να κινηθώ

#12

Δεν χρειάζονται ταυτότητες. Υπάρχει πιο σύντομος τρόπος:

Δείξε αρχικά ότι αν $0 \leqslant x < y$ τότε x^n < y^n

. (Με μαθηματική επαγωγή.)

Kostas Tzimoulias · #13

Κατάλαβα και μετά για y<x

άρα μένει η ισότητα. Με τις ταυτότητες που έγφραψα μπορούσα να εξάγω συμπέρασμα?

#14

Kostas Tzimoulias έγραψε:Κατάλαβα και μετά για άρα μένει η ισότητα.

Χρειάζεται επίσης να εξεταστεί η περίπτωση που κάποιο ή κάποια από τα x,y

είναι αρνητικά.

Kostas Tzimoulias έγραψε: Με τις ταυτότητες που έγφραψα μπορούσα να εξάγω συμπέρασμα?

Ναι. (Έχεις όμως ένα τυπογραφικό στην ταυτότητα.)

Για x,y > 0

ή

η παράσταση $x^{n-1} + x^{n-2}y + \cdots + y^{n-1}$ είναι θετική. Για $x > 0 \geqslant y$ ή $y > 0 \geqslant x$ ούτως η άλλως είναι $x^n \neq y^n$ .

Kostas Tzimoulias · #15

Demetres έγραψε:
Kostas Tzimoulias έγραψε:Κατάλαβα και μετά για άρα μένει η ισότητα.
Χρειάζεται επίσης να εξεταστεί η περίπτωση που κάποιο ή κάποια από τα είναι αρνητικά.

Kostas Tzimoulias έγραψε: Με τις ταυτότητες που έγφραψα μπορούσα να εξάγω συμπέρασμα?
Ναι. (Έχεις όμως ένα τυπογραφικό στην ταυτότητα.)

Για ή η παράσταση $x^{n-1} + x^{n-2}y + \cdots + y^{n-1}$ είναι θετική. Για $x > 0 \geqslant y$ ή $y > 0 \geqslant x$ ούτως η άλλως είναι $x^n \neq y^n$ .

χωρίς βλάβη υποθέτουμε ότι x>y>0 και μετά x>0>y (τισ ισότητες πότε θα τις χρησιμοποιώ?)

Σωστά δε το πρόσεξα δηλαδή για να έχουμε λύση πρέπει να αναφέρω ότι x,y

ομόσημοι

Kostas Tzimoulias · #16

Καλημέρα δε θα ανοίξω καινούργιο θέμα , θα ανεβάζω εδώ τις απορίες μου. Λοιπόν. Θέλω να δείξω ότι

$\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2$ Ο πρώτος απλός δρόμος είναι: $2\sum_{i=1}^{n}(i)-\sum_{i=1}^{n}=2\dfrac{n(n+1)}{2}+n=n^2$ εύκολο αυτό. Ωστόσο αφού πήγα να ελέγξω ,στη τη λύση παρατήρησα ότι είχε εργαστεί ως εξής: $\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=1+3+5...+(2n-1)= 1+2+3+...+2n-2(1+...+n)$ πώς προέκυψε το "σπάσιμο" αυτό? . Ένας άλλος τρόπος που μου ήρθε είναι ο επαγωγικός.( διάβασα στο βιβλίο ότι υπάρχουν 2 επαγωγές. Η κανονική και η πλήρης επαγωγή, με τη δεύτερη να φαίνεται ισχυρότερη. Με ποια εργαζόμαστε συνήθως?) Ένα τελευταίο οι όροι του αθροίσματος $\sum_{i=1}^{n}(2i-1)$ σε πλήθος είναι

? ή

(edit: πως μορφοποιώ τα αθρόισματα να φαίνονται καλύτερα?)

sot arm · #17

Kostas Tzimoulias έγραψε:Καλημέρα δε θα ανοίξω καινούργιο θέμα , θα ανεβάζω εδώ τις απορίες μου. Λοιπόν. Θέλω να δείξω ότι

$\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2$ Ο πρώτος απλός δρόμος είναι: $2\sum_{i=1}^{n}(i)+\sum_{i=1}^{n}=2\dfrac{n(n-1)}{2}+n=n^2$ εύκολο αυτό.

Γράψε καθαρά τι γράφεις εδώ αλλά νομίζω υπάρχει λάθος,γιατί από ότι καταλαβαίνω λες:
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{(2i-1)}=2\sum_{i=1}^{n}{i}+\sum_{i=1}^{n}{1}$
Ενώ είναι:
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{(2i-1)}=2\sum_{i=1}^{n}{i}-\sum_{i=1}^{n}{1}$
Και επίσης ο τύπος είναι:
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{i}=\frac{n(n+1)}{2}$
και όχι $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{i}=\frac{n(n-1)}{2}$
που φαίνεται να έχεις γράψει.
Η λογική του σπασίματος,τουλάχιστον έτσι νομίζω, είναι ότι το ζητούμενο άθροισμα είναι το άθροισμα των περιττών αριθμών μέχρι το 2n, που προκύπτει αν από το άθροισμα όλων των ακεραίων μέχρι το 2n αφαιρέσεις το άθροισμα των αρτίων, ή αλλιώς:
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{(2i-1)}=\sum_{i=1}^{2n}{i}-\sum_{i=1}^{n}{2i}=\sum_{i=1}^{2n}{i}-2\sum_{i=1}^{n}{i}$
που είναι αυτό ακριβώς που γράφει η λύση.
Δοκίμασε το και με επαγωγή πάντως, η λύση είναι άμεση.
Για το πλήθος σκέψου πάλι όπως με το άθροισμα πόσοι είναι οι περιττοί μεταξύ 1 και 2n?
Για να φαίνεται καλά το άθροισμα γράψε \displaystyle στην αρχή της γραφής του κώδικα.

Kostas Tzimoulias · #18

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις...διόρθωσα τα πρόσημα ( από απροσεξία έγιναν τα λάθη)..οσον αφορά το πλήθο των περιττών νομίζω ειναι 2n-1

και το βλέπουμε και επαγωγικά

margk · #19

Το πλήθος των όρων είναι

αφού στο άθροισμα έχεις i=1,2...,n

Kostas Tzimoulias · #20

margk έγραψε:Το πλήθος των όρων είναι αφού στο άθροισμα έχεις

ναι έχεις δίκιο

Απο spivak

Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Μέλη σε σύνδεση