Σειρά με λογάριθμο

Tolaso J Kos · #1

Να βρεθεί (αν υπάρχει) κλειστός τύπος για τη σειρά: $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log (n+1)}{n^2}}$ .

Δεν έχω λύση, αν και έφτασα μέχρι ένα σημείο.

Tolaso J Kos · #2

Tolaso J Kos έγραψε:Να βρεθεί (αν υπάρχει) κλειστός τύπος για τη σειρά: $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log (n+1)}{n^2}}$ .

Τριγυρνώντας εδώ και εκεί στο Internet βρήκα την εξής ταυτότητα
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(n+1)}{n^2} = -\zeta'(2) + \sum_{n=3}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{\zeta(n)}{n-2}}$ η οποία αποδεικνύεται κάπως έτσι. Ξεκινάμε από τη διγάμμα και έχουμε για $x \in (-1, 1]$ ότι ισχύει
$\displaystyle{\psi^{(0)} \left ( x+1 \right ) + \gamma = \sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{1}{n} - \frac{1}{x+n} \right ] = \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n x^{n-1} \zeta(n)}$ Συνεπώς
$\displaystyle{-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2\left ( x+n \right )} = \sum_{n=3}^{\infty} (-1)^n x^{n-3} \zeta(n)}$ Ολοκληρώνοντας στο [0, 1]

βγάζουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας φυσικά και τη σειρά $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{n^2} = \zeta'(2)}$ .

Οπότε ο κλειστός τύπος που ζητώ πάει περίπατο.

Σειρά με λογάριθμο

Σειρά με λογάριθμο

Re: Σειρά με λογάριθμο

Μέλη σε σύνδεση