Κοινό σταθερό σημείο

Ιστοσελίδα · #1

Συνέχεια από εδώ.
Είναι γνωστό θέμα και πρέπει να το έχουμε δεί. Δεν το βρήκα στην αναζήτηση και το προτείνω.

Έστω $f,g:[0,1]\to [0,1]$ συνεχείς συναρτήσεις.
Υποθέτουμε ότι η

είναι αύξουσα και $g\circ f=f\circ g$ .
Δείξτε ότι οι δύο συναρτήσεις έχουν κοινό σταθερό σημείο, δηλαδή
υπάρχει $x_0\in [0,1]$ τέτοιος, ώστε f(x_0)=g(x_0)=x_0 .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Είναι εύκολο να δούμε ότι υπάρχει $a\in [0,1]$
με g(a)=a

Ορίζουμε την ακολουθία $x_{1}=a,x_{n+1}=f(x_{n})$

Δείχνουμε επαγωγικά ότι $g(x_{n})=x_{n}$
Πράγματι για n=1

ισχύει

Ενω $g(x_{n+1})=g(f(x_{n}))=f(g(x_{n}))=f(x_{n})=x_{n+1}$

Επειδή $x_{n}\leq x_{n+1}\Rightarrow f(x_{n})\leq f(x_{n+1})\Rightarrow x_{n+1}\leq x_{n+2}$
(η συνάρτηση είναι αύξουσα)
προκύπτει ότι η ακολουθία είναι μονότονη.

Αφου είναι και φραγμένη συγκλίνει σε ένα $x_{0}\in [0,1]$

Επειδή $g(x_{n})=x_{n}$ και η συνάρτηση είναι συνεχής προκύπτει $g(x_{0})=x_{0}$

Λογω συνέχειας θα έχουμε ότι $f(x_{n})\rightarrow f(x_{0})$

Απο μοναδικότητα ορίου παίρνουμε $f(x_{0})=x_{0}$
και η απόδειξη είναι πλήρης.

Κοινό σταθερό σημείο

Κοινό σταθερό σημείο

Re: Κοινό σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση