Ακολουθία πολυωνύμων με πραγματικές διακεκριμένες ρίζες

#1

Από Putnam :

Υπάρχει, άραγες, ακολουθία $\displaystyle{\{a_{i}\}_{i=0}^{+\infty}}$ μη - μηδενικών πραγματικών αριθμών, τέθοια-ώστε

το πολυώνυμο $\displaystyle{p_{n}(x):=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}}$ να έχει

πραγματικές διακεκριμένες ρίζες....; ε....;

#2

Ναι.

Είναι πιο εύκολο νομίζω να δειχθεί ότι μπορεί να βρεθεί τέτοια ακολουθία ώστε επιπλέον το πολυώνυμο p_n(x)

(για κάθε ν) να έχει ν διακεκριμένες θετικές ρίζες.

#3

Και αυτή έχει ξεχαστεί.

Παίρνω a_0 = 1,a_1 = -1

. Έστω ότι έχω ήδη κατασκευάσει την ακολουθία $a_0,a_1,\ldots,a_k$ ώστε για κάθε $n \leqslant k$ :

1) Το a_n

είναι θετικό αν ο

είναι περιττός και αρνητικό αν ο

είναι άρτιος.

2) Το πολυώνυμο $p_n(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$ έχει

διακεκριμένες θετικές ρίζες.

Θα δείξω πως μπορώ να επιλέξω το $a_{k+1}$ ώστε τα (1) και (2) να εξακολουθούν να ισχύουν και για n = k+1

.

Έστω ότι

περιττός. Για να ισχύει το (1) πρέπει να διαλέξω το $a_{k+1}$ να είναι θετικό. Έστω $\rho_1 < \ldots < \rho_k$ οι ρίζες του p_k

. Ορίζω $\rho_0 = 0$ και $\rho_{k+1} = \rho_k + 1$ . (Κάπως αυθαίρετος ο τελευταίος ορισμός. Το μόνο που θέλω είναι $\rho_{k+1} > \rho_k$ .) Τότε η συνάρτηση p_k(x)

είναι θετική στο $(0,\rho_1)$ , αρνητική στο $(\rho_1,\rho_2)$ και γενικά είναι θετική στο $(\rho_{2i},\rho_{2i+1})$ και αρνητική στο $(\rho_{2i+1},\rho_{2i+2})$ για $i = 0,1,\ldots,(k-1)/2$ . Έστω $\displaystyle{a_i = \min\limits_{x \in (\rho_{2i+1},\rho_{2i+2})} p_k(x)}$ και έστω $a = \max\{a_i : 0\leqslant i \leqslant (k-1)/2\}$ . Επιλέγω $a_{k+1}$ ώστε $0 < a_{k+1} \rho_k^{k+1} < -a$ . Τότε η συνάρτηση p_k(x)

είναι θετική στο $(0,\rho_1)$ . Στο $(\rho_1,\rho_2)$ είναι θετική στα άκρα και έχει ελάχιστο μικρότερο του $a_1 + a_{k+1} \rho_2^{k+1} \leqslant a + a_{k+1} \rho_k^{k+1} < 0$ , άρα έχει τουλάχιστον δύο διακεκριμένες ρίζες σε αυτό το διάστημα. Ομοίως σε κάθε διάστημα $(\rho_{2i+1},\rho_{2i+2})$ για $0\leqslant i \leqslant (k-1)/2$ η συνάρτηση έχει τουλάχιστον δύο διακεκριμένες ρίζες, άρα συνολικά έχει τουλάχιστον (και άρα ακριβώς) k+1

διακεκριμένες ρίζες.

Με παρόμοιο τρόπο δουλεύουμε και στην περίπτωση όπου ο

είναι άρτιος.

Άρα μπορούμε να κατασκευάσουμε ακολουθία (a_n)

ώστε για κάθε

να ισχύουν τα (1) και (2). Το ζητούμενο έπεται από την ιδιότητα (2).

dement · #4

Ενας αλλος τροπος ειναι ο εξης:

Εστω a_0, a_1, ..., a_n

μια καταλληλη ακολουθια (το πολυωνυμο P_n

εχει θετικες ριζες). Τοτε, η αντιστοιχη ακολουθια a_n,..., a_1, a_0

δινει το πολυωνυμο Q_n

με τις αντιστροφες ριζες. Δεν εχουμε παρα να πολλαπλασιασουμε το Q_n

με

(προσθετοντας τη μηδενικη ριζα) και να του προσθεσουμε εναν (κατ'απολυτη τιμη) αρκετα μικρο αρνητικο σταθερο ορο (τον $a_{n+1}$ ) ετσι ωστε το νεο πολυωνυμο να εχει παλι θετικες, διακεκριμενες ριζες.

Παιρνουμε παλι την αντιστροφη ακολουθια και εχουμε το νεο πολυωνυμο $P_{n+1}$ .

Δημητρης Σκουτερης

Ακολουθία πολυωνύμων με πραγματικές διακεκριμένες ρίζες

Ακολουθία πολυωνύμων με πραγματικές διακεκριμένες ρίζες

Re: Ακολουθία πολυωνύμων με πραγματικές διακεκριμένες ρίζες

Re: Ακολουθία πολυωνύμων με πραγματικές διακεκριμένες ρίζες

Re: Ακολουθία πολυωνύμων με πραγματικές διακεκριμένες ρίζες

Μέλη σε σύνδεση