Άλγεβρα Banach χωρίς μονάδα

BAGGP93 · #1

Θεωρούμε τη μεταθετική μιγαδική άλγεβρα Banach $\displaystyle{\left(c_0(\mathbb{N}),||\cdot||_{\infty}\right)}$ (με τις πράξεις κατά σημείο) χωρίς μονάδα.

Το $\displaystyle{c_{00}(\mathbb{N})=\left\{x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\,,\exists\,k\in\mathbb{N}\,,x_n=0\,,\forall\,n\geq k\right\}}$ είναι

ιδεώδες αυτής της άλγεβρας. Να δείξετε ότι δεν περιέχεται σε κανένα μεγιστικό ιδέωδες αυτής.

dement · #2

Έστω μεγιστικό ιδεώδες

με $c_{00}(\mathbb{N}) \subset I$ και $x \in c_0(\mathbb{N})-I$ . Έστω x = y^2

.

Τότε, για κάθε $s \in c_0(\mathbb{N})$ υπάρχουν $a \in I, r \in c_0(\mathbb{N})$ με s = a + ry^2

. Συγκεκριμένα, έστω y = A + Ry^2

. Επιλέγουμε τα A, R

έτσι ώστε να μην ισχύει ποτέ R_n y_n = 1

(μπορούμε, επειδή η ισότητα ισχύει για πεπερασμένου πλήθους

και το

περιέχει όλες τις τελικά-

ακολουθίες).

Η $\displaystyle \frac{y}{1-Ry}$ είναι προφανώς μηδενική και αφού $y-Ry^2 \in I$ έχουμε $\displaystyle \frac{y}{1-Ry} \times (y - Ry^2) = y^2 \in I$ , άτοπο. Έτσι, η $c_{00}(\mathbb{N})$ δεν περιέχεται σε μεγιστικό ιδεώδες.

Άλγεβρα Banach χωρίς μονάδα

Άλγεβρα Banach χωρίς μονάδα

Re: Άλγεβρα Banach χωρίς μονάδα

Μέλη σε σύνδεση