Πολλαπλό γενικευμένο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2852
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Πολλαπλό γενικευμένο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Tolaso J Kos » Δευ Ιουν 19, 2017 9:53 pm

Υπολογίσατε το πολλαπλό ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{M} = \bigints_0^{\infty} \bigints_0^\infty \cdots \bigints_0^\infty \frac{\prod \limits_{m=1}^{n} \cos (x_m)}{\sum \limits_{m=1}^{n} x_m} \, {\rm d}(x_1, x_2, \dots, x_n)}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1834
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
Επικοινωνία:

Re: Πολλαπλό γενικευμένο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Σεραφείμ » Παρ Ιούλ 07, 2017 6:00 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Υπολογίσατε το πολλαπλό ολοκλήρωμα: \displaystyle{\mathcal{M} = \bigints_0^{\infty} \bigints_0^\infty \cdots \bigints_0^\infty \frac{\prod \limits_{m=1}^{n} \cos (x_m)}{\sum \limits_{m=1}^{n} x_m} \, {\rm d}(x_1, x_2, \dots, x_n)}
Με μετασχηματισμούς Laplace

\displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\left( {\int\limits_0^\infty  {\left( {\int\limits_0^\infty  {..\int\limits_0^\infty  {\frac{{\cos {x_1} \cdot \cos {x_2} \cdot .. \cdot \cos {x_n}}}{{{x_1} + {x_2} + .. + {x_n}}}d{x_n}} ..d{x_3}} } \right)d{x_2}} } \right)d{x_1}}  = }

\displaystyle{ = \int\limits_0^\infty  {\left( {\int\limits_0^\infty  {\left( {\int\limits_0^\infty  {..\int\limits_0^\infty  {\cos {x_1} \cdot \cos {x_2} \cdot .. \cdot \cos {x_n} \cdot \left( {\int\limits_0^\infty  {{e^{ - \left( {{x_1} + {x_2} + .. + {x_n}} \right)w}}dw} } \right)d{x_n}} ..d{x_3}} } \right)d{x_2}} } \right)d{x_1}}  = }

\displaystyle{ = \int\limits_0^\infty  {\left( {\left( {\int\limits_0^\infty  {\cos {x_1} \cdot {e^{ - {x_1} \cdot w}}d{x_1}} } \right) \cdot \left( {\int\limits_0^\infty  {\cos {x_2} \cdot {e^{ - {x_2} \cdot w}}d{x_2}} } \right) \cdot .. \cdot \left( {\int\limits_0^\infty  {\cos {x_n} \cdot {e^{ - {x_n} \cdot w}}d{x_n}} } \right)} \right)dw}  = }

\displaystyle{ = \int\limits_0^\infty  {{{\left( {\frac{w}{{1 + {w^2}}}} \right)}^n}dw} \mathop { =  =  = }\limits^{{w^2} = x} \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty  {\frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^n}}}{x^{\frac{{n - 1}}{2}}}dx}  = \frac{1}{{2 \cdot \Gamma \left( n \right)}}\int\limits_0^\infty  {\frac{{\Gamma \left( n \right)}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^n}}}{x^{\frac{{n - 1}}{2}}}dx}  = }

\displaystyle{ = \frac{1}{{2 \cdot \Gamma \left( n \right)}}\int\limits_0^\infty  {{x^{\frac{{n - 1}}{2}}}\left( {\int\limits_0^\infty  {{y^{n - 1}} \cdot {e^{ - y\left( {x + 1} \right)}}dy} } \right)dx}  = \frac{1}{{2 \cdot \Gamma \left( n \right)}}\int\limits_0^\infty  {{y^{n - 1}}{e^{ - y}}\left( {\int\limits_0^\infty  {{x^{\dfrac{{n - 1}}{2}}} \cdot {e^{ - yx}}dx} } \right)dy}  = }

\displaystyle{ = \frac{1}{{2 \cdot \Gamma \left( n \right)}}\int\limits_0^\infty  {{y^{n - 1}}{e^{ - y}}\frac{{\Gamma \left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)}}{{{y^{\dfrac{{n + 1}}{2}}}}}dy}  = \frac{{\Gamma \left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)}}{{2 \cdot \Gamma \left( n \right)}}\int\limits_0^\infty  {{y^{\dfrac{{n - 3}}{2}}}{e^{ - y}}dy}  = \frac{1}{2}\frac{{\Gamma \left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)\Gamma \left( {\dfrac{{n - 1}}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( n \right)}}} :) :)



Επειδή ο \displaystyle{n} είναι φυσικός αριθμός, χωρεί και περαιτέρω επεξεργασία (με \displaystyle{n} περιττό ή άρτιο) .. το αφήνω όμως έτσι για λόγους αισθητικής ..


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2852
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Πολλαπλό γενικευμένο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Tolaso J Kos » Παρ Ιούλ 07, 2017 9:00 pm

:clap2: :clap2:

Βεβαίως n \geq 2 για τη σύγκλιση ... κάτι που ξέχασα να γράψω στην αρχική ανάρτηση...


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1834
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
Επικοινωνία:

Re: Πολλαπλό γενικευμένο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Σεραφείμ » Παρ Ιούλ 07, 2017 9:08 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Βεβαίως n \geq 2 για τη σύγκλιση ...
:yes3: :yes3:


Σεραφείμ Τσιπέλης

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Σεραφείμ και 2 επισκέπτες