Ταυτοτικὴ ἡ μόνη λύση
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Ταυτοτικὴ ἡ μόνη λύση
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω φραγμένο χωρίο (δηλαδή, ἀνοικτὸ καὶ συνεκτικό), καὶ ὁλόμορφη.
Ἂν καὶ , δείξατε ὅτι , διὰ κάθε .
ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Τὸ ἴδιο συμπέρασμα ἰσχύει καὶ στὴν περίπτωση ὅπου τὸ χωρίο δὲιν εἶναι φραγμένο, ἀλλά εἶναι ἁπλὰ συνεκτικὸ καὶ διάφορο τοῦ .
Ἂν καὶ , δείξατε ὅτι , διὰ κάθε .
ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Τὸ ἴδιο συμπέρασμα ἰσχύει καὶ στὴν περίπτωση ὅπου τὸ χωρίο δὲιν εἶναι φραγμένο, ἀλλά εἶναι ἁπλὰ συνεκτικὸ καὶ διάφορο τοῦ .
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ταυτοτικὴ ἡ μόνη λύση
Από Riemann Mapping Theorem υπάρχει 1-1 και επί συνάρτηση με όπου τόσο η όσο και η αντίστροφή της είναι ολόμορφες.
Ορίζουμε με τον τύπο . Τότε η είναι ολόμορφη με και . Επειδή για κάθε , από το λήμμα του Schwarz είναι .
Για το λήμμα του Schwarz υπάρχει σύντομη απόδειξη με maximum modulus principle. Δεν ξέρω όμως πως να αποφύγω το Riemann Mapping Theorem.
Ορίζουμε με τον τύπο . Τότε η είναι ολόμορφη με και . Επειδή για κάθε , από το λήμμα του Schwarz είναι .
Για το λήμμα του Schwarz υπάρχει σύντομη απόδειξη με maximum modulus principle. Δεν ξέρω όμως πως να αποφύγω το Riemann Mapping Theorem.
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Re: Ταυτοτικὴ ἡ μόνη λύση
Ἀπέδειξες τὴν περίπτωση ὅπου τὸ εἶναι ἁπλά συνεκτικὸ καὶ διάφορο τοῦ .
Τὸ ζητούμενο ἰσχύει καὶ στὴν περίπτωση ὅπου τὸ εἶναι φραγμενό.
Τὸ ζητούμενο ἰσχύει καὶ στὴν περίπτωση ὅπου τὸ εἶναι φραγμενό.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ταυτοτικὴ ἡ μόνη λύση
Κάνοντας μετατόπιση μπορούμε να υποθέσουμε ότι
H αναπτύσσεται σε δυναμοσειρά γύρω από το
Θα δείξουμε ότι
Διαφορετικά θα υπάρχει
με και
Θεωρούμε τις οπου η σύνθεση είναι φορές
Εύκολα βλέπουμε ότι
με
Αλλά οι είναι φραγμένες με φράγμα ανεξάρτητο του
Από το ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy και οι παράγωγοι τους στο θα είναι φραγμένες με φράγμα ανεξάρτητο του
που δίνει ΑΤΟΠΟ.
H αναπτύσσεται σε δυναμοσειρά γύρω από το
Θα δείξουμε ότι
Διαφορετικά θα υπάρχει
με και
Θεωρούμε τις οπου η σύνθεση είναι φορές
Εύκολα βλέπουμε ότι
με
Αλλά οι είναι φραγμένες με φράγμα ανεξάρτητο του
Από το ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy και οι παράγωγοι τους στο θα είναι φραγμένες με φράγμα ανεξάρτητο του
που δίνει ΑΤΟΠΟ.
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ταυτοτικὴ ἡ μόνη λύση
Για μη φραγμένα χωρία δεν χρειαζόμαστε ολόκληρο το Riemann mapping theorem.
Χρειαζόμαστε ότι κάθε μη φραγμένο απλά συνεκτικό χωρίο διαφορετικό του
μπορεί να απεικονισθεί σύμμορφα σε φραγμένο. Αυτό είναι σχετικά εύκολο.
Αν το συμπλήρωμα του είναι ανοικτό και ανήκει σε αυτό τότε παίρνουμε
Διαφορετικά το συμπλήρωμα του θα περιέχει μια απλή καμπύλη με αρχή το και τέλος το .
Τότε τα πράγματα είναι λίγο πιο πολύπλοκα.
Η συνάρτηση είναι όπου κατάλληλο σημείο και
ένας ολόμορφος κλάδος της.
Χρειαζόμαστε ότι κάθε μη φραγμένο απλά συνεκτικό χωρίο διαφορετικό του
μπορεί να απεικονισθεί σύμμορφα σε φραγμένο. Αυτό είναι σχετικά εύκολο.
Αν το συμπλήρωμα του είναι ανοικτό και ανήκει σε αυτό τότε παίρνουμε
Διαφορετικά το συμπλήρωμα του θα περιέχει μια απλή καμπύλη με αρχή το και τέλος το .
Τότε τα πράγματα είναι λίγο πιο πολύπλοκα.
Η συνάρτηση είναι όπου κατάλληλο σημείο και
ένας ολόμορφος κλάδος της.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ταυτοτικὴ ἡ μόνη λύση
Ναι, έχει δίκιο. Πήγα απευθείας στην Σημείωση χωρίς να διαβάσω προσεκτικά την εκφώνηση.Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Ἀπέδειξες τὴν περίπτωση ὅπου τὸ εἶναι ἁπλά συνεκτικὸ καὶ διάφορο τοῦ .
Τὸ ζητούμενο ἰσχύει καὶ στὴν περίπτωση ὅπου τὸ εἶναι φραγμενό.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες