Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Στὸ χωρίο εἶναι δυνατὸν νὰ ὁρισθεῖ ὁλόμορφη συνάρτηση μὲ τὴν ἱδιότητα διὰ κάθε . Συνήθως ἡ συμβολίζεται ὡς . Δείξατε ὅτι ἡ εἶναι περιττή, δηλαδὴ διὰ κάθε .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση
Το πρόβλημα της ύπαρξης είναι γνωστό στην Μιγαδική Ανάλυση ,αν και αναλυτική του λύση αναφέρεται σε ελάχιστα βιβλία.Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Στὸ χωρίο εἶναι δυνατὸν νὰ ὁρισθεῖ ὁλόμορφη συνάρτηση μὲ τὴν ἱδιότητα διὰ κάθε . Συνήθως ἡ συμβολίζεται ὡς . Δείξατε ὅτι ἡ εἶναι περιττή, δηλαδὴ διὰ κάθε .
Νομίζω ότι αυτό είναι το σημαντικότερο.
Δηλαδή να κατασκευασθεί συνάρτηση που ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος.
Μάλιστα η καρδία του προβλήματος είναι να κατασκευασθεί συνεχής συνάρτηση. Η ολομορφία προκύπτει από την συνέχεια σχετικά εύκολα.
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Re: Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση
Ἡ ὕπαρξη τῆς ἐμφανίζεται σχεδὸν σὲ κάθε ἐγχειρίδιο Μιγαδικῆς Ἀναλύσεως. Ὁ κομψότερος τρόπος εἶναι διὰ τῆς χρήσεως τοῦ Λήμματος:
Ἔστω χωρίο καὶ στὴν ἴδια συνεκτικὴ συνιστῶσα τοῦ . Τότε ὁρίζεται ὡς ὁλὀμορφη συνάρτηση ἡ στὸ .
Χάριν τοῦ Λήμματος, ἡ δύναται νὰ ὁρισθεῖ ὡς
Τὸ ἀπολύτως ἀπροσδόκητο ὅμως εἶναι ὅτι ἡ εἶναι περιττή!
Πῶς ἀποδεικνύεται αὐτό;
Ἔστω χωρίο καὶ στὴν ἴδια συνεκτικὴ συνιστῶσα τοῦ . Τότε ὁρίζεται ὡς ὁλὀμορφη συνάρτηση ἡ στὸ .
Χάριν τοῦ Λήμματος, ἡ δύναται νὰ ὁρισθεῖ ὡς
Τὸ ἀπολύτως ἀπροσδόκητο ὅμως εἶναι ὅτι ἡ εἶναι περιττή!
Πῶς ἀποδεικνύεται αὐτό;
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση
Αυτή η κομψή κατασκευή δεν δίνει άμεσες πληροφορίες για την συνάρτηση.
Επειδή δηλαδή
η γνωστή αρχή (ταυτότητας η αναλυτικής συνέχισης η...)
δίνει ότι για κάθε θα είναι
Θα αποκλείσουμε την πρώτη περίπτωση.
Να σημειώσουμε ότι τέτοιες συναρτήσεις υπάρχουν δύο και η μία είναι αντίθετη της άλλης.Προκύπτει άμεσα από την γνωστή αρχή.
Παίρνουμε αυτή που έχει
Εστω το χωρίο με
Θεωρούμε την ως εξής
Αν τότε
Θέτουμε .
Εύκολα βλέπουμε ότι η είναι ολόμορφη στο εσωτερικό του συνεχής σε όλο και επιπλέον
Επειδή στο έχουμε και
η γνωστή αρχή μας δίνει ότι στο
Επειδή χαλάει η συνέχεια της στο .
()
Η απόδειξη και η σχέση μας βοηθάει να ορίσουμε την ανθρώπινα.
Το μόνο που μένει είναι να την ορίσουμε στο .
Να σημειώσω ότι η συνέχεια της που εκ κατασκευής είναι προφανής μας δίνει την ολομορφία ως εξης
Είναι
Επειδή δηλαδή
η γνωστή αρχή (ταυτότητας η αναλυτικής συνέχισης η...)
δίνει ότι για κάθε θα είναι
Θα αποκλείσουμε την πρώτη περίπτωση.
Να σημειώσουμε ότι τέτοιες συναρτήσεις υπάρχουν δύο και η μία είναι αντίθετη της άλλης.Προκύπτει άμεσα από την γνωστή αρχή.
Παίρνουμε αυτή που έχει
Εστω το χωρίο με
Θεωρούμε την ως εξής
Αν τότε
Θέτουμε .
Εύκολα βλέπουμε ότι η είναι ολόμορφη στο εσωτερικό του συνεχής σε όλο και επιπλέον
Επειδή στο έχουμε και
η γνωστή αρχή μας δίνει ότι στο
Επειδή χαλάει η συνέχεια της στο .
()
Η απόδειξη και η σχέση μας βοηθάει να ορίσουμε την ανθρώπινα.
Το μόνο που μένει είναι να την ορίσουμε στο .
Να σημειώσω ότι η συνέχεια της που εκ κατασκευής είναι προφανής μας δίνει την ολομορφία ως εξης
Είναι
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Re: Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση
Ἂς δώσω τὴν δικὴ μου λύση.
Βῆμα 1ο. Ἡ εἶναι εἴτε ἀρτία εἴτε περιττή, καθὼς
καὶ ἄρα
διὰ κάθε ἢ
διὰ κάθε .
Βῆμα 2ο.
καὶ ἄρα
ἢ
Βῆμα 3ο.
Ἄρα .
Βῆμα 1ο. Ἡ εἶναι εἴτε ἀρτία εἴτε περιττή, καθὼς
καὶ ἄρα
διὰ κάθε ἢ
διὰ κάθε .
Βῆμα 2ο.
καὶ ἄρα
ἢ
Βῆμα 3ο.
Ἄρα .
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση
Γιώργο αν η ορίζεται στο
και είναι άρτια εκεί
τότε το
αν υπάρχει είναι η .
Γιατί
Και με αυτό βγαίνει ΑΤΟΠΟ.
και είναι άρτια εκεί
τότε το
αν υπάρχει είναι η .
Γιατί
Και με αυτό βγαίνει ΑΤΟΠΟ.
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Re: Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση
Παρεμπιπτόντως, ἕνας ἄλλος τρόπος νὰ δείξει κανείς ὅτι ἡ
εἶναι περιττή, συνάγεται ἀπὸ τὸν τύπο
εἶναι περιττή, συνάγεται ἀπὸ τὸν τύπο
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 26 επισκέπτες