Απορία σε supremum

S3i · #1

Στο σύνολο $\Gamma = \left \{ \frac{m}{2m+n}: m,n\in \mathbb{N} \right \}$ να βρω το supremum.
Αρχικά σταθεροποιώ το m και βλέπω ότι $\lim_{n} \frac{m}{2m+n} = 0$ .
Έπειτα σταθεροποιώ το n και βλέπω ότι $\lim_{m}\frac{m}{2m+n}=1/2$
Άρα το supremum είναι το $\frac{1}{2}$ .Καθώς αν ήταν το 0 θα μπορούσαμε να βρούμε ένα στοιχείο του σύνολου "κοντά" στο $\frac{1}{2}$ > 0 .Επιπλέον ο $\epsilon$ - χαρακτηρισμος του $\frac{1}{2}$
περιγράφεται από τον ορισμό του ορίου.Και τέλος,προφανώς $\frac{1}{2}$ άνω φράγμα . Είναι σωστή η σκέψη μου?

Γ.-Σ. Σμυρλής · #2

Παρατήρησε πρώτα ὅτι τὸ 1/2

ἀποτελεῖ ἄνω φράγμα τοῦ συνόλου, καὶ ἀκολούθως ὅτι, διὰ κάθε ε>0, ὑπάρχει στοιχεῖο α τοῦ συνόλου, ὥστε
$\displaystyle{ \frac{1}{2}-\varepsilon<\alpha<\frac{1}{2}. }$
Γιὰ παράδειγμα, ἂν $\varepsilon>2/m$ , τότε γιὰ n=1

,
$\displaystyle{ \frac{m}{2m+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4m+2}>\frac{1}{2}-\varepsilon. }$

S3i · #3

Αρχικά $0\leq n \Leftrightarrow 2m \leq 2m + n \Leftrightarrow \frac{m}{2m+n} \leq \frac{1}{2}$ - Άνω φράγμα.
Έστω $\epsilon > 0$
$\frac{1}{2} - \epsilon < \frac{m}{2m+n} \Leftrightarrow \frac{1}{2} - \frac{m}{2m+n} < \epsilon \Leftrightarrow \frac{n}{4m+n} < \epsilon \Leftrightarrow \frac{1-\epsilon }{4\epsilon}n < m.$
Αν σταθεροποιησω το n τέτοιο m υπάρχει αφού το σύνολο των φυσικών δεν είναι άνω φραγμενο. Για κάθε ε > 0 βρίσκω ένα στοιχείο του σύνολου > $\frac{1}{2} - \epsilon$ .Αρα Supremum $\Gamma = \frac{1}{2}$ . Σωστά?

Απορία σε supremum

Απορία σε supremum

Re: Απορία σε supremum

Re: Απορία σε supremum

Μέλη σε σύνδεση