Πεπερασμένη τιμή

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\mathcal{C} =[0, 1] \times [0, 1] \times \cdots \times[0, 1] \subseteq \mathbb{R}^n$ ο μοναδιαίος κύβος. Ορίζουμε τη συνάρτηση
$\displaystyle{f\left ( x_1, x_2, \dots, x_n \right )= \frac{x_1 x_2 \cdots x_n}{x_1^{a_1} + x_2^{a_2} + \cdots + x_n^{a_n}}}$ όπου a_i

θετικές σταθερές. Για ποιες τιμές των a_i>0

είναι η τιμή του ολοκληρώματος $\bigintsss_{\mathcal{C}} f$ πεπερασμένη ;

Άνευ λύσης!!

#2

Αν θεωρήσουμε (χωρίς βλάβη της γενικότητας) ότι $\displaystyle{{a_1} \ge {a_2} \ge \,\,..\,\, \ge {a_n}}$ , φαίνεται ότι το ολοκλήρωμα υπάρχει κατά Riemann,

αν-ν $\displaystyle{{a_1} \cdot \left( {\frac{1}{{{a_2}}} + \frac{1}{{{a_3}}} + .. + \frac{1}{{{a_n}}}} \right) > {a_1} - 1}$ .. (θέλει επεξεργασία .. θα δούμε ..)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Θα δώσω μια ικανή συνθήκη για την σύγκλιση του ολοκληρώματος

Θέτουμε $a=max(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

Εχουμε ότι $\sum x_{i}^{a_{i}}\geq \sum x_{i}^{a}$

Ειναι εύκολο να δούμε ότι ότι $\sum x_{i}^{a}\geq c\left \| x \right \|^{a}$

$x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\left \| x \right \|x{'},\left \| x' \right \|=1$

Αρκεί να δείξουμε ότι το $\int _{x_{i}> 0,\left \| x \right \|< \varepsilon }f(x)dx$ (1)

συγκλίνει για κατάλληλα μικρό $\varepsilon>0$

Αλλά αν

είναι η επιφάνεια της μοναδιαίας μπάλας και θέσουμε $r=\left \| x \right \|$

τότε το ολοκλήρωμα της (1) είναι μικρότερο η ίσο από μία σταθερά επί

$\int _{r< \varepsilon }\int _{S,x_{i}'> 0}\dfrac{r^{n}x_{1}'x_{2}'...x_{n}'}{r^{a}}r^{n-1}dx'dr$

Το τελευταίο ολοκλήρωμα είναι μια σταθερά επί

$\int_{0}^{\varepsilon }r^{2n-1-a}dr$

που συγκλίνει αν 2n> a

Αρα αν $max(a_{1},a_{2},...a_{n})< 2n$ το ολοκλήρωμα συγκλίνει.

Σε καμία περίπτωση η συνθήκη δεν είναι αναγκαία.

Συμπλήρωμα.

Μια άλλη ικανή συνθήκη είναι να είναι κάποιο $a_{i}< 2$

Γιατί τότε το ολοκλήρωμα θα είναι μικρότερο από μια σταθερά επί

$\int_{0}^{1}x_{i}^{1-a_{i}}dx_{i}$

#4

Μια ακόμα ικανή συνθήκη

Αν θεωρήσουμε (χωρίς βλάβη της γενικότητας) ότι $\displaystyle{{a_1} \ge {a_2} \ge \,\,..\,\, \ge {a_n}}$ , δηλαδή $\displaystyle{\max \left( {{a_1},{a_2},\;..\;,{a_n}} \right) = {a_1}}$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( {\vec x} \right) = f\left( {{x_1},{x_2},\;..\;,{x_n}} \right) = \frac{{{x_1} \cdot {x_2} \cdot .. \cdot {x_n}}}{{x_1^{{a_1}} + x_2^{{a_2}} + .. + x_n^{{a_n}}}}}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{C - \left( {0,0,..,0} \right)}$ και

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\vec x \to \vec 0} f\left( {\vec x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\left( {{x_1},{x_2},\;..\;,{x_n}} \right) \to \left( {0,0,..,0} \right)} \frac{{{x_1} \cdot {x_2} \cdot .. \cdot {x_n}}}{{x_1^{{a_1}} + x_2^{{a_2}} + .. + x_n^{{a_n}}}}}$ . Θέτουμε $\displaystyle{{x_i} = {\left( {{w_i}} \right)^{{a_1}/{a_i}}}}$ . Τότε

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\left( {{x_1},{x_2},\;..\;,{x_n}} \right) \to \left( {0,0,..,0} \right)} \frac{{{x_1} \cdot {x_2} \cdot .. \cdot {x_n}}}{{x_1^{{a_1}} + x_2^{{a_2}} + .. + x_n^{{a_n}}}} = }$ $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\left( {{w_1},{w_2},\;..\;,{w_n}} \right) \to \left( {0,0,..,0} \right)} \frac{{{w_1} \cdot {{\left( {{w_2}} \right)}^{{a_1}/{a_2}}} \cdot .. \cdot {{\left( {{w_n}} \right)}^{{a_1}/{a_n}}}}}{{w_1^{{a_1}} + w_2^{{a_1}} + .. + w_n^{{a_1}}}}}$

Θεωρούμε έναν τυχαίο “δρόμο” για το $\displaystyle{\left( {{w_1},{w_2},\;..\;,{w_n}} \right) \to \left( {0,0,..,0} \right)}$ , με $\displaystyle{{w_i} = {k_i} \cdot {w_1},\;{k_i} \in R}$ .

Τότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\vec x \to \vec 0} \frac{{{x_1} \cdot {x_2} \cdot .. \cdot {x_n}}}{{x_1^{{a_1}} + x_2^{{a_2}} + .. + x_n^{{a_n}}}} = }$ $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{{w_1} \to 0} \frac{{{w_1} \cdot {{\left( {{w_1}} \right)}^{{a_1}/{a_2}}} \cdot .. \cdot {{\left( {{w_1}} \right)}^{{a_1}/{a_n}}} \cdot \left( {{{\left( {{k_2}} \right)}^{{a_1}/{a_2}}} \cdot .. \cdot {{\left( {{k_n}} \right)}^{{a_1}/{a_n}}}} \right)}}{{w_1^{{a_1}}\left( {1 + {{\left( {{k_2}} \right)}^{{a_1}}} + .. + {{\left( {{k_n}} \right)}^{{a_1}}}} \right)}}}$

Αν $\displaystyle{K = \frac{{{{\left( {{k_2}} \right)}^{{a_1}/{a_2}}} \cdot .. \cdot {{\left( {{k_n}} \right)}^{{a_1}/{a_n}}}}}{{1 + {{\left( {{k_2}} \right)}^{{a_1}}} + .. + {{\left( {{k_n}} \right)}^{{a_1}}}}}}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\vec x \to \vec 0} f\left( {\vec x} \right) = K \cdot \mathop {\lim }\limits_{{w_1} \to 0} \frac{{{w_1}^{\left( {1 + {a_1} \cdot \left( {\frac{1}{{{a_2}}} + \frac{1}{{{a_3}}} + .. + \frac{1}{{{a_n}}}} \right)} \right)}}}{{w_1^{{a_1}}}}}$

Αν $\displaystyle{1 + {a_1} \cdot \left( {\frac{1}{{{a_2}}} + \frac{1}{{{a_3}}} + .. + \frac{1}{{{a_n}}}} \right) > {a_1}}$ τότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\vec x \to \vec 0} f\left( {\vec x} \right) = 0}$ , δηλαδή η $\displaystyle{f\left( {\vec x} \right)}$ , με συνεχή επέκταση $\displaystyle{f\left( {\vec 0} \right) = 0}$ , γίνεται συνεχής και φραγμένη στο $\displaystyle{C}$ ,

άρα ολοκληρώσιμη. Αν $\displaystyle{1 + {a_1} \cdot \left( {\frac{1}{{{a_2}}} + \frac{1}{{{a_3}}} + .. + \frac{1}{{{a_n}}}} \right) = {a_1}}$ , τότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\vec x \to \vec 0} f\left( {\vec x} \right) = K}$ , που σημαίνει ότι δεν υπάρχει το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\vec x \to \vec 0} f\left( {\vec x} \right)}$ , καθότι

εξαρτάται από τον “δρόμο”, πλην όμως η συνάρτηση είναι φραγμένη στο $\displaystyle{C}$ , όποια τιμή κι αν δώσουμε στο $\displaystyle{f\left( {\vec 0} \right)}$ , επομένως ολοκληρώσιμη

κατά Riemann (μοναδικό σημείο ασυνέχειας το $\displaystyle{\vec x = \vec 0}$ ).

Επομένως μια ακόμα ικανή συνθήκη είναι $\displaystyle{1 + {a_1} \cdot \left( {\frac{1}{{{a_2}}} + \frac{1}{{{a_3}}} + .. + \frac{1}{{{a_n}}}} \right) \ge {a_1}}$ .

Σημείωση : Το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int\limits_C {\frac{{x \cdot y \cdot z \cdot w}}{{{x^9} + {y^3} + {z^3} + {w^3}}}d\left( {x,y,z,w} \right)} }$ συγκλίνει, παρόλο που $\displaystyle{\max \left( {{a_i}} \right) > 2n}$ και $\displaystyle{\forall i = 1,2,3,4:{a_i} > 2}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Κάνουμε αλλαγή μεταβλητής.
$x_{i}^{a_{i}}=y_{i}^{2n} or x_{i}=y_{i}^{\frac{2n}{a_{i}}}$

$dx_{i}=\frac{2n}{a_{i}}y_{i}^{\frac{2n}{a_{i}}-1}dy_{i}$

Ετσι $x_{i}dx_{i}=\frac{2n}{a_{i}}y_{i}^{\frac{4n}{a_{i}}-1}dy_{i}$

κάνω την υπόθεση ότι $a_{i}\leq 4n$

Θέτοντας $y=(y_{1},..,y_{n})=ry',r=\left \| y \right \|$

έχουμε ότι το $\dfrac{\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2n}}{r^{2n}}$

βρίσκεται μεταξύ δύο απολύτων σταθερών

Ολοκληρώνοντας πάνω στην επιφάνεια της μοναδιαίας μπάλας του $\mathbb{R}^{n}$

και

το ολοκλήρωμα θα συγκλίνει αν και μόνο συγκλίνει το $\int_{0}^{\varepsilon }g(r)dr$

όπου $g(r)=r^{n-1}r^{4na-n}\frac{1}{r^{2n}}=r^{4na-2n-1}$

με $a=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}$

Θα έχουμε σύγκλιση αν και μόνο αν 4an-2n> 0

δηλαδή $a> \frac{1}{2}$

Τελικά αν υποθέσουμε ότι $a_{i}\leq 4n,i=1,2....n$

τότε αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συγκλίνει το ολοκλήρωμα είναι

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}> \frac{1}{2}$

Tolaso J Kos · #6

Πολύ ενδιαφέροντα όσα γράφετε. Σας ευχαριστώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Tolaso J Kos έγραψε:Πολύ ενδιαφέροντα όσα γράφετε. Σας ευχαριστώ.

Καλημέρα Τόλη.
Που την ψάρεψες αν θυμάσαι;

Tolaso J Kos · #8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Που την ψάρεψες αν θυμάσαι;

Σταύρο,

η μνήμη μου δε με έχει εγκαταλείψει ακόμα οπότε μπορώ να σου πω με βεβαιότητα ότι το παραπάνω θέμα είναι θέμα εξετάσεων πραγματικής ανάλυσης από το Wisconsin - Madison.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Αφου είναι θέμα εξετάσεων οφείλουμε να απαντήσουμε.
Αναγκαία και ικανή συνθήκη είναι η

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}> \frac{1}{2}$

Απόδειξη.Εστω $a=a_{1}=max(a_{1},...,a_{n})$

Θέτουμε $x_{i}^{a_{i}}=y_{i}^{a}, i=2,...n$

και $x_{1}=y_{1}$

Εχουμε $x_{i}dx_{i}=y_{i}^{\frac{2a}{a_{i}}-1}dy_{i},i=2,3...n$

(έχει παραληφθεί η σταθερά που δεν επιρεάζει την σύγκλιση)

Αν θέσουμε

$y=(y_{1},..,y_{n})=ry',r=\left \| y \right \|$

τότε $\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{a}\approx r^{a}$

Ολοκληρώνοντας πάνω στην επιφάνεια της μοναδιαίας μπάλας του $\mathbb{R}^{n}$

και

τότε το ολοκλήρωμα πάνω στην επιφάνεια είναι πεπερασμένο γιατί $\frac{2a}{a_{i}}-1> 0$

οπότε το ολοκλήρωμα θα συγκλίνει αν συγκλίνει

Αλλά τα r είναι $\dfrac{rr^{\sum_{i=2}^{n}^{\frac{2a}{a_{i}}-1}}}{r^{a}}r^{n-1}$

Ετσι ο εκθέτης του r είναι $\sum_{i=2}^{n}\frac{2a}{a_{i}}+1-a$

Το ολοκλήρωμα συγκλίνει αν και μόνο αυτός είναι > -1

Ετσι παίρνουμε την ζητούμενη συνθήκη.

Για την ολοκλήρωση πάνω στην επιφάνεια της μοναδιαίας μπάλας βλέπε
https://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere

συμπλ.Είχα ξεχάσει μια σταθερά.

Πεπερασμένη τιμή

Πεπερασμένη τιμή

Re: Πεπερασμένη τιμή

Re: Πεπερασμένη τιμή

Re: Πεπερασμένη τιμή

Re: Πεπερασμένη τιμή

Re: Πεπερασμένη τιμή

Re: Πεπερασμένη τιμή

Re: Πεπερασμένη τιμή

Re: Πεπερασμένη τιμή

Μέλη σε σύνδεση