Ολοκλήρωμα με τριγωνομετρικό και πολυώνυμο

Tolaso J Kos · #1

Αποδείξατε ότι
$\displaystyle{\int_0^{\pi/2} \frac{x^2}{1+\cos^2 x} \, {\rm d} x = \frac{ \pi}{2\sqrt{2}} {\rm Li}_2 \left( 3 - 2\sqrt{2} \right) + \frac{\pi^3}{24 \sqrt{2}}}$ όπου ${\rm Li}_2$ ο γνωστός διλογάριθμος.

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Αποδείξατε ότι $\displaystyle{\int_0^{\pi/2} \frac{x^2}{1+\cos^2 x} \, {\rm d} x = \frac{ \pi}{2\sqrt{2}} {\rm Li}_2 \left( 3 - 2\sqrt{2} \right) + \frac{\pi^3}{24 \sqrt{2}}}$ .

Λήμμα 1 Αν $\displaystyle{\left| a \right| > 1}$ τότε $\displaystyle{\int\limits_0^\pi {\frac{{{x^2}}}{{{e^{ix}} - a}}dx} = - \frac{{{\pi ^3}}}{{3a}} - \frac{{2\pi }}{a}L{i_2}\left( { - \frac{1}{a}} \right) + i\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{a}\log \left( {1 + \frac{1}{a}} \right) - \frac{2}{a}L{i_3}\left( { - \frac{1}{a}} \right) + \frac{2}{a}L{i_3}\left( {\frac{1}{a}} \right)} \right)}$

διότι $\displaystyle{\int\limits_0^\pi {\frac{{{x^2}}}{{{e^{ix}} - a}}dx} = - \frac{1}{a}\int\limits_0^\pi {\frac{{{x^2}}}{{1 - \frac{{{e^{ix}}}}{a}}}dx} = - \frac{1}{a}\int\limits_0^\pi {{x^2}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{e^{ixn}}}}{{{a^n}}}} dx} = - \frac{1}{a}\int\limits_0^\pi {{x^2}dx} - \frac{1}{a}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{a^n}}}\int\limits_0^\pi {{x^2}{e^{ixn}}dx} } = - \frac{{{\pi ^3}}}{{3a}} - }$

$\displaystyle{ - \frac{1}{a}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{{a^n}}}\left( { - i\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{\pi ^2}}}{n} + \frac{{2{{\left( { - 1} \right)}^n}\pi }}{{{n^2}}} + i\frac{{2{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^3}}} - i\frac{2}{{{n^3}}}} \right)} }$ , απ’ όπου προκύπτει το ζητούμενο.

Λήμμα 2 Αν $\displaystyle{\left| a \right| < 1}$ τότε $\displaystyle{\int\limits_0^\pi {\frac{{{x^2}}}{{{e^{ix}} - a}}dx} = \frac{{2\pi }}{a}L{i_2}\left( { - a} \right) + i\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{a}\log \left( {1 + a} \right) - \frac{2}{a}L{i_3}\left( { - a} \right) + \frac{2}{a}L{i_3}\left( a \right)} \right)}$ .. διότι .. ομοίως ..

Στο θέμα μας ..

$\displaystyle{I = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{x^2}}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} = 2\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{x^2}}}{{3 + \cos 2x}}dx} \mathop { = = = }\limits^{2x \to x} \frac{1}{4}\int\limits_0^\pi {\frac{{{x^2}}}{{3 + \cos x}}dx} }$ $\displaystyle{ = \frac{1}{4}\int\limits_0^\pi {\frac{{{x^2}}}{{3 + \frac{{{e^{ix}} + {e^{ - ix}}}}{2}}}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^\pi {\frac{{{x^2}}}{{6 + {e^{ix}} + {e^{ - ix}}}}dx} = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{2}\int\limits_0^\pi {\frac{{{x^2}{e^{ix}}}}{{{e^{2ix}} + 6{e^{ix}} + 1}}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^\pi {\frac{{{x^2}{e^{ix}}}}{{\left( {{e^{ix}} - {\rho _1}} \right)\left( {{e^{ix}} - {\rho _2}} \right)}}dx} }$ , όπου $\displaystyle{{\rho _{1,2}} = - 3 \pm 2\sqrt 2 }$ οι ρίζες της $\displaystyle{{z^2} + 6z + 1 = 0}$

Τότε με ανάλυση σε απλά κλάσματα $\displaystyle{I = \frac{1}{2}\left( {A \cdot \int\limits_0^\pi {\frac{{{x^2}}}{{{e^{ix}} - {\rho _1}}}dx} + B\int\limits_0^\pi {\frac{{{x^2}}}{{{e^{ix}} - {\rho _2}}}dx} } \right)}$ , όπου $\displaystyle{A,{\rm B} = \frac{{2\sqrt 2 \pm 3}}{{4\sqrt 2 }}}$ , $\displaystyle{\left| {{\rho _1}} \right| > 1}$ και $\displaystyle{\left| {{\rho _2}} \right| < 1}$

Επομένως $\displaystyle{I = \frac{{2\sqrt 2 + 3}}{{8\sqrt 2 }} \cdot \left( { - \frac{{{\pi ^3}}}{{3{\rho _1}}} - \frac{{2\pi }}{{{\rho _1}}}L{i_2}\left( { - \frac{1}{{{\rho _1}}}} \right) + i\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{{{\rho _1}}}\log \left( {1 + \frac{1}{{{\rho _1}}}} \right) - \frac{2}{a}L{i_3}\left( { - \frac{1}{{{\rho _1}}}} \right) + \frac{2}{{{\rho _1}}}L{i_3}\left( {\frac{1}{{{\rho _1}}}} \right)} \right)} \right) + }$

$\displaystyle{ + \frac{{2\sqrt 2 - 3}}{{8\sqrt 2 }}\left( {\frac{{2\pi }}{{{\rho _2}}}L{i_2}\left( { - {\rho _2}} \right) + i\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{{{\rho _2}}}\log \left( {1 + {\rho _2}} \right) - \frac{2}{{{\rho _2}}}L{i_3}\left( { - {\rho _2}} \right) + \frac{2}{{{\rho _2}}}L{i_3}\left( {{\rho _2}} \right)} \right)} \right)}$

Επειδή $\displaystyle{{\rm I} \in R}$ , καθώς και $\displaystyle{\log \left( {1 + \frac{1}{{{\rho _1}}}} \right),\;L{i_3}\left( { - \frac{1}{{{\rho _1}}}} \right),\;\log \left( {1 + {\rho _2}} \right),\;L{i_3}\left( { - {\rho _2}} \right) \in R}$ έχουμε

$\displaystyle{I = \frac{1}{{8\sqrt 2 }} \cdot \left( {2\pi L{i_2}\left( { - \frac{1}{{{\rho _1}}}} \right)} \right) + \frac{1}{{8\sqrt 2 }}\left( {2\pi L{i_2}\left( { - {\rho _2}} \right)} \right) + }$ $\displaystyle{i\left( { - \frac{1}{{4\sqrt 2 }}L{i_3}\left( {\frac{1}{{{\rho _1}}}} \right) + \frac{1}{{4\sqrt 2 }}L{i_3}\left( {{\rho _2}} \right)} \right)\mathop { = = = = }\limits^{{\rho _2} = \frac{1}{{{\rho _1}}}} }$

$\displaystyle{ = \frac{{{\pi ^3}}}{{24\sqrt 2 }} + \frac{\pi }{{4\sqrt 2 }}\left( {L{i_2}\left( {\frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }}} \right) + L{i_2}\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)} \right) - i\frac{1}{{4\sqrt 2 }}\left( {L{i_3}\left( {{\rho _2}} \right) - L{i_3}\left( {{\rho _2}} \right)} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow I = \frac{{{\pi ^3}}}{{24\sqrt 2 }} + \frac{{\pi \cdot L{i_2}\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{2\sqrt 2 }}}$

Ολοκλήρωμα με τριγωνομετρικό και πολυώνυμο

Ολοκλήρωμα με τριγωνομετρικό και πολυώνυμο

Re: Ολοκλήρωμα με τριγωνομετρικό και πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση