Ολοκλήρωμα Λογάριθμου

#1

Αν $\displaystyle{a \in \left( {0,1} \right]}$ να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{{{\log }^2}x}}{{x - a}}dx} = - \frac{1}{3}{\log ^3}a + \frac{{2{\pi ^2}}}{3}\log a - 2 \cdot L{i_3}\left( a \right)}$ .

Tolaso J Kos · #2

Σεραφείμ έγραψε:Αν $\displaystyle{a \in \left( {0,1} \right]}$ να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{{{\log }^2}x}}{{x - a}}dx} = - \frac{1}{3}{\log ^3}a + \frac{{2{\pi ^2}}}{3}\log a - 2 \cdot L{i_3}\left( a \right)}$ .

Σεραφείμ,

είναι σίγουρο ότι συγκλίνει για τις τιμές του

; Με το λίγο που το έτρεξα στο Wolfram μου δίνει ότι αποκλίνει εκτός της τιμής a=1

... Παλαιότερα πάντως είχαμε δει έναν Τριλογάριθμο ....

Tolaso J Kos · #3

Φαίνεται ότι το σωστό είναι κάπως διαφορετικό:
$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{\log^2 x}{x+a} \, {\rm d}x &= \frac{1}{a}\int_{0}^{1} \frac{\log^2 x}{1+ \frac{x}{a}} \, {\rm d}x \\ &= \frac{1}{a} \int_{0}^{1} \log^2 x \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left ( \frac{x}{a} \right )^n \, {\rm d}x\\ &= \frac{1}{a} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{a^n} \int_{0}^{1} x^n \log^2 x \, {\rm d}x\\ &= \frac{2}{a} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{a^n \left ( n+1 \right )^3}\\ &=-2 {\rm Li}_3 \left ( - \frac{1}{a} \right ) \end{aligned}}$ Όμως ο τριλογάριθμος ικανοποιεί τη σχέση
$\displaystyle{{\rm Li}_3 \left ( -z \right ) - {\rm Li}_3 \left ( - \frac{1}{z} \right ) = - \frac{1}{6} \log^3 z - \frac{\pi^2}{6} \log z }$ Θέτουμε στη προηγούμενη σχέση $z \mapsto 1/a$ και άρα
$\displaystyle{{\rm Li}_3 \left ( -\frac{1}{a} \right ) - {\rm Li}_3 \left ( - a \right ) = - \frac{1}{6} \log^3 \left ( \frac{1}{a} \right ) - \frac{\pi^2}{6} \log \left ( \frac{1}{a} \right ) }$ Άρα
$\displaystyle{\boxed{\color{blue}{\int_{0}^{1} \frac{\log^2 x}{x+a} \, {\rm d}x = -2 {\rm Li}_3 \left ( -a \right )- \frac{\log^3 a}{3} - \frac{\pi^2 \log a}{3}}\quad , \quad a \in (0, 1]} }$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Tolaso J Kos έγραψε:
Σεραφείμ έγραψε:Αν $\displaystyle{a \in \left( {0,1} \right]}$ να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{{{\log }^2}x}}{{x - a}}dx} = - \frac{1}{3}{\log ^3}a + \frac{{2{\pi ^2}}}{3}\log a - 2 \cdot L{i_3}\left( a \right)}$ .
Σεραφείμ,

είναι σίγουρο ότι συγκλίνει για τις τιμές του ; Με το λίγο που το έτρεξα στο Wolfram μου δίνει ότι αποκλίνει εκτός της τιμής ... Παλαιότερα πάντως είχαμε δει έναν Τριλογάριθμο ....

Τόλη έχεις δίκιο .Για $0< \alpha < 1$ το ολοκλήρωμα αποκλίνει.
Ειναι απλή θεωρία γενικευμένου.

Tolaso J Kos · #5

Σταύρο ευχαριστώ. Έδωσα , πιο πάνω , και τη σωστή θεωρώ εκδοχή !!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Tolaso J Kos έγραψε:Σταύρο ευχαριστώ. Έδωσα , πιο πάνω , και τη σωστή θεωρώ εκδοχή !!

Λόγω αυτού https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_transform
η P.V υπάρχει για σχεδόν όλα τα $\alpha$
Εδω νομίζω ότι υπάρχει για όλα τα $\alpha$ .
Ισως ο Σεραφείμ να το έγραψε με την έννοια της P.V.

Tolaso J Kos · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Λόγω αυτού https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_transform

Χμμ.. δε το γνωρίζω αυτό.

Αναμένουμε λοιπόν το Σεραφείμ. Καλό σας βράδυ!

#8

Tolaso J Kos έγραψε: Έδωσα , πιο πάνω , και τη σωστή θεωρώ εκδοχή !!

Τόλη, και με "+" στην θέση του "-" έχουμε πρόβλημα.

Το άθροισμα

Tolaso J Kos έγραψε: $\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left ( \frac{x}{a} \right )^n \, }$

αποκλίνει για ολόκληρο διάστημα (a,1)

, πόσο μάλλον ότι η εναλλαγή αθροίσματος και ολοκλήρωσης είναι μη επιτρεπτή.

Tolaso J Kos · #9

Μια σκέψη που είχα.. Μπορούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα για $a \geq 1$ . Τώρα η σειρά συγκλίνει και επιτρέπεται η εναλλαγή ολοκλήρωσης και άθροισης και βγάζουμε το ίδιο αποτέλεσμα. Στη συνέχεια για να ρθουμε πίσω στο $a \in (0, 1]$ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την αναλυτική συνέχεια της πολυλογαρίθμου και έτσι το αποτέλεσμα να ισχύει και για αυτά τα

.

Τι λέτε;

#10

Χαιρετώ την παρέα. Είναι αλήθεια ότι ο Wolfram δίδει πως το ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει. Ίσως θα 'επρεπε να διατυπώσω καλύτερα το πρόβλημα .. δηλαδή :

Αν $\displaystyle{a \in \left( {0,1} \right)}$ , και $\displaystyle{\varepsilon > 0}$ να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{{{\log }^2}x}}{{x - a}}dx} = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \left( {\int\limits_0^{a - \varepsilon } {\frac{{{{\log }^2}x}}{{x - a}}dx} + \int\limits_{a + \varepsilon }^1 {\frac{{{{\log }^2}x}}{{x - a}}dx} } \right) = - \frac{1}{3}{\log ^3}a + \frac{{2{\pi ^2}}}{3}\log a - 2 \cdot L{i_3}\left( a \right)}$

Υπό αυτήν την έννοια η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( z \right) = \int\limits_0^z {\frac{{{{\log }^2}x}}{{x - a}}dx} }$ ορίζεται στο $\displaystyle{C - \left\{ a \right\}}$

#11

Για την ακρίβεια για $\displaystyle{b}$ κοντά στο $\displaystyle{a}$ ισχύει ..

$\displaystyle{b < a\quad :\quad \int\limits_0^b {\frac{{{{\log }^2}x}}{{x - a}}dx} = {\log ^2}b \cdot \log \left( {1 - \frac{b}{a}} \right) + 2 \cdot \log b \cdot L{i_2}\left( {\frac{b}{a}} \right) - 2 \cdot L{i_3}\left( {\frac{b}{a}} \right)}$ και

$\displaystyle{b > a\quad :\quad \int\limits_b^1 {\frac{{{{\log }^2}x}}{{x - a}}dx} = - {\log ^2}b \cdot \log \left( {1 - \frac{a}{b}} \right) - \frac{1}{3}{\log ^3}b + 2 \cdot \log b \cdot L{i_2}\left( {\frac{a}{b}} \right) + 2 \cdot L{i_3}\left( {\frac{a}{b}} \right) - 2 \cdot L{i_3}\left( a \right)}$

Ολοκλήρωμα Λογάριθμου

Ολοκλήρωμα Λογάριθμου

Re: Ολοκλήρωμα Λογάριθμου

Re: Ολοκλήρωμα Λογάριθμου

Re: Ολοκλήρωμα Λογάριθμου

Re: Ολοκλήρωμα Λογάριθμου

Re: Ολοκλήρωμα Λογάριθμου

Re: Ολοκλήρωμα Λογάριθμου

Re: Ολοκλήρωμα Λογάριθμου

Re: Ολοκλήρωμα Λογάριθμου

Re: Ολοκλήρωμα Λογάριθμου

Re: Ολοκλήρωμα Λογάριθμου

Μέλη σε σύνδεση