Παράμετρος για σύγκλιση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2856
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Παράμετρος για σύγκλιση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Tolaso J Kos » Παρ Αύγ 11, 2017 7:41 pm

Ζητείται να εξετάσετε τη σύγκλιση της σειράς

\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{n}{n+4} \right)^{\alpha}}

για τις διάφορες τιμές του \alpha \in \mathbb{R}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9403
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παράμετρος για σύγκλιση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Mihalis_Lambrou » Παρ Αύγ 11, 2017 9:21 pm

Σβήνω λάθος (και τι λάθος) λύση μου. :oops:
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Αύγ 12, 2017 12:49 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2856
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Παράμετρος για σύγκλιση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Tolaso J Kos » Παρ Αύγ 11, 2017 10:23 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: Αφού \displaystyle{\arcsin\frac{n}{n+4} \to \arcsin 1 {\color{red}{=}} \frac{\pi}{2}}


η σειρά ενδέχεται να συγκλίνει για κάποια \alpha. Ποια ;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9403
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παράμετρος για σύγκλιση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 12, 2017 12:48 am

Tolaso J Kos έγραψε: \displaystyle{ \arcsin 1 {\color{red}{=}} \frac{\pi}{2}}


Έχεις δίκιο! :oops: :oops: :oops:


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παράμετρος για σύγκλιση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Αύγ 12, 2017 1:02 am

Tolaso J Kos έγραψε:Ζητείται να εξετάσετε τη σύγκλιση της σειράς

\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{n}{n+4} \right)^{\alpha}}

για τις διάφορες τιμές του \alpha \in \mathbb{R}.


Εφαρμόζοντας DHL έχουμε
\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{\frac{\pi }{2}-\arcsin \frac{x}{x+4}}{x^{-\frac{1}{2}}}=\frac{2}{\sqrt{8}}

Ετσι \frac{\pi }{2}-\arcsin \frac{n}{n+4}\approx \frac{1}{\sqrt{n}}

Αρα η σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν \alpha > 2



Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες