υπολογισμός ολοκληρώματος

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2525
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

υπολογισμός ολοκληρώματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Οκτ 04, 2017 3:28 pm

Μπορεί το ολοκλήρωμα \displaystyle\int_{0}^{\pi}\arcsin(1-\sin{t})\,dt να υπολογισθεί ακριβώς;
Δεν γνωρίζω.


Υ.Γ. Και δεν το νομίζω, αλλά...


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1711
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: υπολογισμός ολοκληρώματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Οκτ 05, 2017 1:47 am

grigkost έγραψε:
Τετ Οκτ 04, 2017 3:28 pm
Μπορεί το ολοκλήρωμα \displaystyle\int_{0}^{\pi}\arcsin(1-\sin{t})\,dt να υπολογισθεί ακριβώς;
Δεν γνωρίζω.


Υ.Γ. Και δεν το νομίζω, αλλά...
Γρηγόρη γειά σου.
Σχετικά με τον υπολογισμό αυτού του ολοκληρώματος με το λογισμικό μου κάτι βρήκα που ίσως σ' ενδιαφέρει.

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

\displaystyle{f(x)=arcsin(1-sin(x)), \  \ x\in R}

της οποίας το γράφημα \displaystyle{C_f} εύκολα βρίσκουμε με τη βοήθεια του λογισμικού ggb.

Επίσης με το λογισμικό αυτό βρίσκουμε και το ολοκλήρωμα που αναφέρεις όπως

φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα.
Υπολογισμός ολοκληρώματος 2.png
Υπολογισμός ολοκληρώματος 2.png (26.92 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές

Σχετικά με το γράφημα \displaystyle{C_f} συμπληρώνω ότι αποτελείται από άπειρα καμπύλα τμήματα της μορφής \displaystyle{AMC} με βάση ίση με \displaystyle{\pi},

ύψος ίσο με \displaystyle{\pi/2} απέχουν απόσταση ίση με \displaystyle{\pi} και εκτείνονται κατά τον άξονα των τετμημένων από το μείον άπειρο μέχρι και το

συν άπειρο.

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2525
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: υπολογισμός ολοκληρώματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Οκτ 05, 2017 5:11 am

grigkost έγραψε:
Τετ Οκτ 04, 2017 3:28 pm
Μπορεί το ολοκλήρωμα \displaystyle\int_{0}^{\pi}\arcsin(1-\sin{t})\,dt να υπολογισθεί ακριβώς; ..
Κώστα, σε ευχαριστώ για την ενασχόληση με το θέμα. Όμως αυτή είναι μια προσεγγιστική λύση. Το "ακριβώς" σημαίνει εύρεση με την μορφή κλειστού τύπου που προκύπτει από μεθόδους ολοκλήρωσης. Είμαι 99,9% σίγουρος ότι δεν μπορεί να προκύψει αυτός ο κλειστός τύπος. Αλλά υπάρχει και αυτό το 0,1%...


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3158
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: υπολογισμός ολοκληρώματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Οκτ 05, 2017 8:47 am

Συνήθως σε τέτοια υφής θέματα μία καλή τακτική με την οποία μπορούμε να ξεκινήσουμε να παλεύουμε το ολοκλήρωμα είναι η DUTIES. Για το λόγο αυτό θεωρούμε τη συνάρτηση
\displaystyle{f\left ( \alpha \right ) = \int_{0}^{\pi} \arcsin \left ( \alpha - \sin t \right ) \, {\rm d}t \quad \quad , \quad \quad 0\leq \alpha \leq 1} όπου 0\leq \alpha \leq 1. Αν παραγωγίσουμε ως προς \alpha τότε θα πάρουμε ότι:

\displaystyle{f'\left ( \alpha \right ) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \alpha} \int_{0}^{\pi} \arcsin \left ( \alpha - \sin t \right ) \, {\rm d}t = \int_{0}^{\pi} \frac{\partial }{\partial \alpha} \arcsin \left ( \alpha - \sin t \right ) \, {\rm d}t = \int_{0}^{\pi} \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-\left ( \alpha - \sin t \right )^2}}} και το τελευταίο ολοκλήρωμα κάνει ... ; Πόσο ; Πολύ φοβάμαι ότι μπλέκονται ελλειπτικές συναρτήσεις πρώτου ή δευτέρου είδους καθώς και υπεργεωμετρικές. Οπότε σταματώ εδώ και όποιος θέλει ..,.. συνεχίζει !

Υ.Σ: Για \alpha =0 έχουμε ότι \displaystyle{\int_{0}^{\pi} \arcsin \left ( -\sin x \right ) \, {\rm d}x = - \frac{\pi^2}{4}}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης