Αναδρομική ακολουθία (15)

#1

Δίνεται η ακολουθία $\left({\alpha_{\nu}}\right)_{\nu\in\mathbb{N}\,\cup\{0\}}$ με
$\alpha_{\nu}=2\,\alpha_{\nu-1}+2^{{\color{blue}-}2(\nu-1)}\,,\; \nu\in\mathbb{N}\,,\quad \alpha_0=1\,.$

Να βρεθεί ένας αναγωγικός τύπος της ακολουθίας.
Να βρεθεί για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού $\beta$ το $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\frac{2^{\alpha_{\nu}}}{2^{{\beta}^{\nu}}}$ είναι πραγματικός αριθμός.

edit: 2:48, 18/10/2017. Προστέθηκε ένα μείον στο $2^{2(\nu-1)}$ .

#2

Για το (α):

Εξετάζουμε αν υπάρχει

ώστε η αναδρομική σχέση να παίρνει τη μορφή $a_n-x\cdot 2^{2n}=2(a_{n-1}-x\cdot 2^{2n-2}).$
Αρκεί $x\cdot 2^{2n}-2x\cdot 2^{2n-2}= 2^{2n-2}$ ή 4x-2x=1

ή $x=\dfrac{1}{2}.$

Επομένως $a_n-\dfrac{1}{2}\cdot 2^{2n}=2(a_{n-1}-\dfrac{1}{2}\cdot 2^{2n-2}).$

Η $b_n=a_n-\dfrac{1}{2}\cdot 2^{2n}$ είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο

και $b_0=a_0-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$ οπότε $b_n=2^nb_0=2^{n-1}$ και τελικά

$\boxed{a_n=2^{2n-1}+2^{n-1}}$ για κάθε $n\geq 0.$

#3

Χρειάστηκε η απάντηση του Παύλου για να δω ότι στην πληκτρολόγηση παρέλειψα ένα μείον. Συγγνώμη!
Διορθωμένη η άσκηση είναι:

Δίνεται η ακολουθία $\left({\alpha_{\nu}}\right)_{\nu\in\mathbb{N}\,\cup\{0\}}$ με
$\alpha_{\nu}=2\,\alpha_{\nu-1}+2^{-2(\nu-1)}\,,\; \nu\in\mathbb{N}\,,\quad \alpha_0=1\,.$

Να βρεθεί ένας αναγωγικός τύπος της ακολουθίας.
Να βρεθεί για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού $\beta$ το $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\frac{2^{\alpha_{\nu}}}{2^{{\beta}^{\nu}}}$ είναι πραγματικός αριθμός.

Υ.Γ. Και σε αυτήν την περίπτωση η μέθοδος του Παύλου δίνει λύση.

#4

Πολλαπλασιάζω κατά μέλη με 4^n

οπότε
$4^na_n=8\cdot 4^{n-1}a_{n-1}+4$ ή

$b_n=8b_{n-1}+4$ όπου b_n=4^na_n

$b_n+\dfrac{4}{7}=8b_{n-1}+\dfrac{32}{7}$

$b_n+\dfrac{4}{7}=8(b_{n-1}+\dfrac{4}{7})$

$b_n+\dfrac{4}{7}=8^n(b_{0}+\dfrac{4}{7})=\dfrac{11}{7}8^n$

$4^na_n+\dfrac{4}{7}=\dfrac{11}{7}8^n$

$\boxed{a_n=\dfrac{11}{7}\cdot 2^n-\dfrac{4}{7}\cdot 4^{-n}}$

#5

Μια 2η λύση για το :

Ισχύουν $\begin{aligned} \alpha_{\nu}&=2\,\alpha_{\nu-1}+2^{-2(\nu-1)+0}=2\,\alpha_{\nu-1}+2^{2+0\cdot3-2\nu}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 2\,\alpha_{\nu-1}&=2^2\,\alpha_{\nu-2}+2^{-2(\nu-2)+1}=2^2\,\alpha_{\nu-2}+2^{2+1\cdot3-2\nu}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 2^2\,\alpha_{\nu-2}&=2^3\,\alpha_{\nu-3}+2^{-2(\nu-3)+2}=2^3\,\alpha_{\nu-3}+2^{2+2\cdot3-2\nu}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \ldots\ldots&=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 2^{\nu-2}\,\alpha_2&=2^{\nu-1}\,\alpha_1+2^{-2\cdot1+\nu-2}=2^{\nu-1}\,\alpha_{1}+2^{2+(\nu-2)\cdot3-2\nu}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 2^{\nu-1}\,\alpha_1&=2^{\nu}\,\alpha_0+2^{-2\cdot0+\nu-1}=2^{\nu}+2^{2+(\nu-1)\cdot3-2\nu}\,. \end{aligned}$
Προσθέτοντας, κατά μέλη, τις παραπάνω $\nu$ ισότητες, προκύπτει $\begin{aligned} \alpha_{\nu}&=2^{\nu}+\mathop{\sum}\limits_{\kappa=1}^{\nu}2^{2+(\kappa-1)\cdot3-2\nu}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=2^{\nu}+2^{2-2\nu}\mathop{\sum}\limits_{\kappa=1}^{\nu}8^{\kappa-1}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=2^{\nu}+2^{2-2\nu}\,\frac{1}{7}\,(8^{\nu}-1)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\dfrac{1}{7}\,\big(11\cdot2^{\nu}-4\cdot4^{-\nu}\big)\,,\quad \nu\in\mathbb{N}\,.\end{aligned}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Το b
Εχουμε $\dfrac{2^{a_{n}}}{b^{n}}=2^{a_{n}-b^{n}}$

Αρκεί να δούμε το όριο της παράστασης

$\frac{11}{7}2^{n}-\frac{4}{7}4^{-n}-b^{n}$

και επειδή το $\frac{4}{7}4^{-n}$ πάει στο

της παράστασης

$\frac{11}{7}2^{n}-b^{n}$

Είναι σαφές ότι για $b\leq 0$ τό όριο η δεν υπάρχει η είναι $\infty$

Για $0< b\leq 2$ είναι $\infty$

γιατί $\frac{11}{7}2^{n}-b^{n}=2^{n}(\frac{11}{7}-(\frac{b}{2})^{n})$

Για b> 2

είναι $-\infty$ γιατί

$\frac{11}{7}2^{n}-b^{n}=b^{n}(\frac{11}{7}(\frac{2}{b})^{n}-1)$

Το συμπέρασμα είναι ότι πρέπει b> 2

Αναδρομική ακολουθία (15)

Αναδρομική ακολουθία (15)

Re: Αναδρομική ακολουθία (15)

Re: Αναδρομική ακολουθία (15)

Re: Αναδρομική ακολουθία (15)

Re: Αναδρομική ακολουθία (15)

Re: Αναδρομική ακολουθία (15)

Μέλη σε σύνδεση