Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2462
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Νοέμ 14, 2017 11:38 am

Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η σειρά \displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n} στο διάστημα (0,1).


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7486
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 14, 2017 3:18 pm

Θα δείξουμε ότι συγκλίνει κατά σημείο αλλά όχι ομοιόμορφα στο (0,1).

Για x \in (0,1), θέτω a = \frac{1}{x}-1. Τότε a > 0 και x = \frac{1}{1+a}. Από την ανισότητα Bernoulli, έχω (1+a)^{1/n} \leqslant 1 + \frac{a}{n}. (Η φορά είναι σωστή επειδή 1/n \leqslant 1.)

Άρα \displaystyle  \frac{1-x^{1/n}}{n} \leqslant \frac{1 - \frac{n}{a+n}}{n} = \frac{a}{n(a+n)} < \frac{a}{n^2}

Άρα η \displaystyle  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-x^{1/n}}{n} συγκλίνει.

Έστω προς άτοπο ότι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη. Άρα υπάρχει φυσικός N ώστε \displaystyle  \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1-x^{1/n}}{n} < \frac{1}{2} για κάθε x \in (0,1).

Θέτω x = e^{-N}. Τότε \displaystyle  x^{1/n} = e^{-N/n} \leqslant \frac{1}{1 + N/n} = \frac{n}{n+N} και άρα

\displaystyle  \frac{1-x^{1/n}}{n} \geqslant \frac{N}{n(N+n)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+N}

Οπότε \displaystyle  \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1-x^{1/n}}{n} \geqslant \frac{1}{N+1} + \cdots + \frac{1}{2N} \geqslant \frac{1}{2}, άτοπο.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1472
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 14, 2017 3:31 pm

grigkost έγραψε:
Τρί Νοέμ 14, 2017 11:38 am
Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η σειρά \displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n} στο διάστημα (0,1).
Επιπλέον ερώτημα.

Να αποδειχθεί ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα

του (0,\infty )


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2462
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Νοέμ 14, 2017 3:49 pm

grigkost έγραψε:
Τρί Νοέμ 14, 2017 11:38 am
Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η σειρά \displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n} στο διάστημα (0,1).
Χωρίς να διαφέρει ουσιαστικά από την λύση του Δημήτρη... (έχει και δυο σημεία στα οποία θα "χωρούσε" αποδείξεις, τις οποίες αντιπαρέρχομαι).

Για κάθε x\in(0,1)\,,\; y\in(0,+\infty)\,, ισχύει
\displaystyle\frac{1-x^{\frac{1}{y}}}{y}<\frac{1}{x\,y^2}\quad(1)\,.
Επειδή \displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{x\,n^2}=\frac{\pi^2}{6x} έπεται ότι, για κάθε x\in(0,1), η ακολουθία μερικών αθροισμάτων της \displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{x\,n^2} είναι φραγμένη. Λόγω της (1) έπεται ότι και η ακολουθία μερικών αθροισμάτων (\sigma_n)_{n\in\mathbb{N}} της \displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n} είναι φραγμένη. Επειδή η (\sigma_n)_{n\in\mathbb{N}} είναι και αύξουσα, έπεται ότι η σειρά \displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n} συγκλίνει κατά σημείο στο διάστημα (0,1).


Για κάθε x\in(0,1) ισχύει
\displaystyle\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n}>\frac{1}{n}\quad(2)\,.
Επειδή \big({\exists\,\varepsilon=\tfrac{\log2}{2}>0}\big)\left({\forall\,n_0\in\mathbb{N}}\right)\left({\exists\,n=n_0,m=2n_0}\right)\big({\exists\,x=\frac{1}{2}\in(0,1)}\big), ώστε m>{n}\geqslant{n_0} και

\begin{aligned} 
\displaystyle\left|{\mathop{\sum}\limits_{k=n}^{m}\frac{1-\big(\frac{1}{2}\big)^{\frac{1}{k}}}{k}}\right|&=\mathop{\sum}\limits_{k=n_0}^{2n_0}\frac{1-\big(\frac{1}{2}\big)^{\frac{1}{k}}}{k}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&\stackrel{(2)}{>}\mathop{\sum}\limits_{k=n_0}^{2n_0}\frac{1}{k}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&>\log2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&>\varepsilon\,, 
\end{aligned}
έπεται ότι η \displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n} δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στο (0,1).


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2462
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Νοέμ 15, 2017 1:42 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Νοέμ 14, 2017 3:31 pm
Επιπλέον ερώτημα.

Να αποδειχθεί ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα του (0,\infty )

Για την ακολουθία
f_n(x)=\dfrac{\big|1-x^{\frac{1}{n}}\big|}{n}\,, \quad x\in[\alpha,\beta]\,, \; n\in\mathbb{N}\,,\; \alpha>0\,, για κάθε n\in\mathbb{N} ισχύει
f_n(x)\leqslant\max\bigg\{\dfrac{\big|1-\alpha^{\frac{1}{n}}\big|}{n},\,\dfrac{\big|1-\beta^{\frac{1}{n}}\big|}{n}\bigg\}\quad(1)\,.
Επομένως η (1) ισχύει και για κάθε συμπαγές υποσύνολο του (0,+\infty) με άκρα τα \alpha και \beta.

Επίσης, για κάθε n\in\mathbb{N} :
  • για y\in(0,1] ισχύει \displaystyle\frac{\big|1-y^{\frac{1}{n}}\big|}{n}<\frac{1}{y\,n^2}\quad(2)\,,
  • ενώ για y\in(1,+\infty) ισχύει \displaystyle\frac{\big|1-y^{\frac{1}{n}}\big|}{n}<\frac{y}{n^2}\quad(3)\,.
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

\begin{aligned} 
0<\alpha<\beta\leqslant1\quad&\stackrel{(1)\,(2)}{=\!=\!\Longrightarrow}\quad f_n(x)\leqslant\max\bigg\{\dfrac{1}{\alpha\,n^2},\,\dfrac{1}{\beta\,n^2}\bigg\}\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
0<\alpha\leqslant1<\beta\quad&\stackrel{(1)\,(2)\,(3)}{=\!=\!=\!=\!\Longrightarrow}\quad f_n(x)\leqslant\max\bigg\{\dfrac{1}{\alpha\,n^2},\,\dfrac{\beta}{n^2}\bigg\}\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
1<\alpha<\beta\quad&\stackrel{(1)\,(3)}{=\!=\!\Longrightarrow}\quad f_n(x)\leqslant\max\bigg\{\dfrac{\alpha}{n^2},\,\dfrac{\beta}{n^2}\bigg\}\,. 
\end{aligned}


Σε κάθε περίπτωση ισχύει
\displaystyle\bigg|\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n}\bigg|\leqslant\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\big|1-x^{\frac{1}{n}}\big|}{n}\leqslant \kappa\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\kappa\,\pi^2}{6}\,,
όπου \kappa σταθερά που προσδιορίζεται πλήρως από τις παραπάνω περιπτώσεις. Άρα η σειρά \displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n} συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του (0,+\infty).



Σημείωση: Οι ανισότητες που χρησιμοποιήθηκαν μπορούν να αποδειχθούν εύκολα. Τις αφήνουμε σαν άσκηση.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης