νιοστή παράγωγος συνάρτησης

lefsk · #1

Γεια σας! Ζητάει μια άσκηση να βρω νιοστές παραγώγους συναρτήσεων. Έχω λύσει τα περισσότερα αλλά σε $\displaystyle{ 2 }$ έχω κολλήσει. Με μια μικρή βόλτα στις συζητήσεις βρήκα μερικές μεθόδους, ωστόσο στο μάθημα δεν έχει ακουστεί ακόμα ούτε ο τύπος Taylor ούτε κάποια μέθοδος. Οπότε υποθέτω πως πρέπει να βρω τις πρώτες παραγώγους και να δω τι ακολουθία σχηματίζουν. Κάθε βοήθεια δεκτή, ευχαριστώ!

$\displaystyle{ i) f(x)= \frac{1}{x^2 -1} }$
Έχει:
$\displaystyle{ f'(x)= \frac{-2x}{(x^{2} -1)^{2}} }$
$\displaystyle{ f''(x)= \frac{6x^{2} + 2}{(x^{2} -1)^{3}} }$
$\displaystyle{ f'''(x)= \frac{-24x^{3} -24x}{(x^{2} -1)^{4}} }$
$\displaystyle{ f''''(x)= \frac{120x^{4}+240x^{2}+24}{(x^{2} -1)^{5}} }$

$\displaystyle{ ii) f(x)= \frac{x+2}{x^{2} -1} }$
Έχει:
$\displaystyle{ f'(x)=- \frac{x^{2} + 4x +1}{(x^{2}-1)^{2}} }$
$\displaystyle{ f''(x)=2 \cdot \frac{x^{3} + 6x^{2} +3x +2}{(x^{2}-1)^{3}} }$
$\displaystyle{ f'''(x)=-6 \cdot \frac{x^{4} + 8x^{3} +6x^{2} +8x +1}{(x^{2}-1)^{4}} }$
$\displaystyle{ f''''(x)=24 \cdot \frac{x^{5} + 10x^{4} +10x^{3} +20x^{2} +5x +2}{(x^{2}-1)^{5}} }$

Για την $\displaystyle{ f^{(n)}(x)}$ έχω σκεφτεί κάποια πράγματα
$\displaystyle{ f^{(n)}(x) = (-1)^{n} \cdot (n!) \cdot \frac{p(x)}{(x^{2} -1)^{(n+1)}} }$ .
Τώρα για το $\displaystyle{ p(x) }$ παρατηρώ τους συντελεστές στους αριθμητές των παραγώγων και μου θυμίζουν πολύ το τρίγωνο του Pascal μόνο που ανά $\displaystyle{ 2 }$ όρους έχουμε επί $\displaystyle{ 2 }$ . (π.χ. η τέταρτη γραμμή στο τρίγωνο είναι $\displaystyle{ 1, 4, 6, 4, 1 }$ και εδώ έχουμε $\displaystyle{ 1, 2\cdot 4, 6, 2\cdot 4, 1 }$ και η πέμπτη στο τρίγωνο είναι $\displaystyle{ 1, 5, 10, 10, 5, 1 }$ και εδώ έχουμε $\displaystyle{ 1, 2\cdot5, 10, 2\cdot10, 5, 2\cdot1 }$ ) .

#2

lefsk έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 26, 2017 1:31 pm
Γεια σας! Ζητάει μια άσκηση να βρω νιοστές παραγώγους συναρτήσεων. Έχω λύσει τα περισσότερα αλλά σε $\displaystyle{ 2 }$ έχω κολλήσει. Με μια μικρή βόλτα στις συζητήσεις βρήκα μερικές μεθόδους, ωστόσο στο μάθημα δεν έχει ακουστεί ακόμα ούτε ο τύπος Taylor ούτε κάποια μέθοδος. Οπότε υποθέτω πως πρέπει να βρω τις πρώτες παραγώγους και να δω τι ακολουθία σχηματίζουν. Κάθε βοήθεια δεκτή, ευχαριστώ!

$\displaystyle{ i) f(x)= \frac{1}{x^2 -1} }$
...

$\displaystyle{ ii) f(x)= \frac{x+2}{x^{2} -1} }$

Αν δεν απαντάς εσύ στις δικές μας ερωτήσεις, όπως π.χ. εδώ, δεν μας δίνεις και το μέγιστο κίνητρο να απαντήσουμε εμείς στις δικές σου.

Όπως και να είναι, θα δώσω υπόδειξη: Ο δρόμος που ακολουθείς στις παραπάνω λύσεις είναι λάθος. Κάνε πρώτα ανάλυση κλασμάτων, και μετά η άσκηση είναι σχεδόν τετριμμένη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

lefsk έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 26, 2017 1:31 pm
Γεια σας! Ζητάει μια άσκηση να βρω νιοστές παραγώγους συναρτήσεων. Έχω λύσει τα περισσότερα αλλά σε $\displaystyle{ 2 }$ έχω κολλήσει. Με μια μικρή βόλτα στις συζητήσεις βρήκα μερικές μεθόδους, ωστόσο στο μάθημα δεν έχει ακουστεί ακόμα ούτε ο τύπος Taylor ούτε κάποια μέθοδος. Οπότε υποθέτω πως πρέπει να βρω τις πρώτες παραγώγους και να δω τι ακολουθία σχηματίζουν. Κάθε βοήθεια δεκτή, ευχαριστώ!

$\displaystyle{ i) f(x)= \frac{1}{x^2 -1} }$
Έχει:
$\displaystyle{ f'(x)= \frac{-2x}{(x^{2} -1)^{2}} }$
$\displaystyle{ f''(x)= \frac{6x^{2} + 2}{(x^{2} -1)^{3}} }$
$\displaystyle{ f'''(x)= \frac{-24x^{3} -24x}{(x^{2} -1)^{4}} }$
$\displaystyle{ f''''(x)= \frac{120x^{4}+240x^{2}+24}{(x^{2} -1)^{5}} }$

$\displaystyle{ ii) f(x)= \frac{x+2}{x^{2} -1} }$
Έχει:
$\displaystyle{ f'(x)=- \frac{x^{2} + 4x +1}{(x^{2}-1)^{2}} }$
$\displaystyle{ f''(x)=2 \cdot \frac{x^{3} + 6x^{2} +3x +2}{(x^{2}-1)^{3}} }$
$\displaystyle{ f'''(x)=-6 \cdot \frac{x^{4} + 8x^{3} +6x^{2} +8x +1}{(x^{2}-1)^{4}} }$
$\displaystyle{ f''''(x)=24 \cdot \frac{x^{5} + 10x^{4} +10x^{3} +20x^{2} +5x +2}{(x^{2}-1)^{5}} }$

Για την $\displaystyle{ f^{(n)}(x)}$ έχω σκεφτεί κάποια πράγματα
$\displaystyle{ f^{(n)}(x) = (-1)^{n} \cdot (n!) \cdot \frac{p(x)}{(x^{2} -1)^{(n+1)}} }$ .
Τώρα για το $\displaystyle{ p(x) }$ παρατηρώ τους συντελεστές στους αριθμητές των παραγώγων και μου θυμίζουν πολύ το τρίγωνο του Pascal μόνο που ανά $\displaystyle{ 2 }$ όρους έχουμε επί $\displaystyle{ 2 }$ . (π.χ. η τέταρτη γραμμή στο τρίγωνο είναι $\displaystyle{ 1, 4, 6, 4, 1 }$ και εδώ έχουμε $\displaystyle{ 1, 2\cdot 4, 6, 2\cdot 4, 1 }$ και η πέμπτη στο τρίγωνο είναι $\displaystyle{ 1, 5, 10, 10, 5, 1 }$ και εδώ έχουμε $\displaystyle{ 1, 2\cdot5, 10, 2\cdot10, 5, 2\cdot1 }$ ) .

Είσαι σε λάθος δρόμο. Ο Taylor δεν βρίσκει

στες παραγώγους. Βρίσκει

στες παραγώγους σε ένα συγκεκριμένο σημείο.

Γράψε $f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}$
κάπου έχεις μάθει για ανάλυση σε απλά κλάσματα.

Η $g(x)=2f(x)+\dfrac{x}{(x-1)(x+1)}$

Νομίζω ότι μπορείς να συνεχίσεις.
Γράψε μας την λύση σου .
Αν εξακολουθείς να έχεις πρόβλημα εδώ είμαστε.

Με πρόλαβε ο Μιχάλης.

lefsk · #4

Σας ευχαριστώ για τις υποδείξεις, θα τις λύσω και θα σας πω!

lefsk · #5

Έκανα το πρώτο ερώτημα!

$\displaystyle{ f^{(n)}(x)=\frac{1}{2} \cdot (-1)^{n} \cdot n! (\frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}}) }$

Νομίζω πως είναι σωστό! Πάω στο επόμενο, και πάλι ευχαριστώ!

#6

lefsk έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 26, 2017 3:57 pm
Έκανα το πρώτο ερώτημα!

$\displaystyle{ f^{(n)}(x)=\frac{1}{2} \cdot (-1)^{n} \cdot n! (\frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}}) }$

Νομίζω πως είναι σωστό! Πάω στο επόμενο, και πάλι ευχαριστώ!

lefsk · #7

Η δεύτερη βγαίνει:

$\displaystyle{ f^{(n)}(x)=\frac{1}{2} \cdot (-1)^{n} \cdot n! (\frac{1}{(x-1)^{n+1}} + \frac{1}{(x+1)^{n+1}}) + (-1)^{n} \cdot n! (\frac{1}{(x-1)^{n+1}} -\frac{1}{(x+1)^{n+1}}) }$

που με πράξεις κάνει

$\displaystyle{ f^{(n)}(x)=\frac{1}{2} \cdot (-1)^{n} \cdot n! (\frac{3}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}}) }$

#8

Σωστά.

Θα μπορούσες πιο απλά απευθείας, μέσω της

$\displaystyle{ \dfrac {x+2}{x^2-1} = \dfrac {3}{2} \dfrac {1}{x-1} -\dfrac {1}{2} \dfrac {1}{x+1} }$

lefsk · #9

Ναι σωστά, σαφώς ευκολότερα έτσι! Ευχαριστώ

νιοστή παράγωγος συνάρτησης

νιοστή παράγωγος συνάρτησης

Re: νιοστή παράγωγος συνάρτησης

Re: νιοστή παράγωγος συνάρτησης

Re: νιοστή παράγωγος συνάρτησης

Re: νιοστή παράγωγος συνάρτησης

Re: νιοστή παράγωγος συνάρτησης

Re: νιοστή παράγωγος συνάρτησης

Re: νιοστή παράγωγος συνάρτησης

Re: νιοστή παράγωγος συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση