Ένα όριο με ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3158
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Ένα όριο με ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Δεκ 09, 2017 4:36 pm

Να υπολογιστεί το όριο:
\displaystyle{\ell = \lim_{a \rightarrow 0} \frac{1}{a^3} \int_0^a \log \left( 1 + \tan a \tan x \right) \, {\rm d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9944
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα όριο με ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 09, 2017 5:07 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Δεκ 09, 2017 4:36 pm
Να υπολογιστεί το όριο:
\displaystyle{\ell = \lim_{a \rightarrow 0} \frac{1}{a^3} \int_0^a \log \left( 1 + \tan a \tan x \right) \, {\rm d}x}
Το ενδιαφέρον κομμάτι είναι ο υπολογισμός του ολοκληρώματος: Η αλλαγή μεταβλητής x=a-y δίνει

\displaystyle{I =  \int_0^a \log \left( 1 + \tan a \tan x \right) \, {\rm d}x   = \int_0^a \log \left( 1 + \tan a \tan (a-y) \right) \, {\rm d}y}

\displaystyle{=  \int_0^a \log \left( 1 + \tan a \frac {\tan a-\tan y}{1+\tan a\tan y } \right) \, {\rm d}y=\int_0^a \log \left(  \frac {1+ \tan ^2 a}{1+\tan a\tan y } \right) \, {\rm d}y }

\displaystyle{=  \int_0^a \log \left(  1+ \tan ^2 a \right) \, {\rm d}y - I=  a \log \left(  1+ \tan ^2 a \right)  - I=  2a \log \left(  \sec a \right)  - I}

Άρα \displaystyle{  \boxed {I = a \log \left( \sec   a \right)}}

Τα υπόλοιπα απλά: Με l' Hospital ανάγεται στο όριο \displaystyle{ \lim_{a \rightarrow 0} \frac{\sin a}{a}=1}. Και λοιπά.

Σχόλιο: Θα μπορούσαμε να κάνουμε l' Hospital ήδη από το πρώτο βήμα που οδηγεί σε με παραγώγιση ως προς a (που περνά μέσα στο ολοκλήρωμα) αλλά προτίμησα το παραπάνω γιατί δίνει κάτι περισσότερο).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ένα όριο με ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Δεκ 10, 2017 8:04 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Δεκ 09, 2017 4:36 pm
Να υπολογιστεί το όριο:
\displaystyle{\ell = \lim_{a \rightarrow 0} \frac{1}{a^3} \int_0^a \log \left( 1 + \tan a \tan x \right) \, {\rm d}x}
Χωρίς υπολογισμό του ολοκληρώματος.

Δεν γράφω τις λεπτομέρειες αφού ήδη έχει απαντηθεί από τον Μιχάλη.

Είναι \log(1+\tan a\tan x)=\tan a\tan x+O((\tan a\tan x)^{2})

Ετσι καταλήγουμε να θέλουμε το όριο

\displaystyle{ \lim_{a \rightarrow 0} \frac{\tan a}{a^3} \int_0^a    \tan x  {\rm d}x}

που εύκολα υπολογίζεται με DHL


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3158
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Ένα όριο με ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Δεκ 10, 2017 9:37 pm

Έχω κάνει τη προσέγγιση του Σταύρου γιατί θεωρούσα πως το ολοκλήρωμα δεν υπολογιζόταν. Μετά τη λύση του κ. Μιχάλη βλέπω πως το ολοκλήρωμα είναι η γενική περίπτωση του

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{\pi/4} \log \left ( 1 + \tan x \right ) \, {\rm d}x }
για a=\frac{\pi}{4} που έχουμε δει εδώ ....( με σκασε η αναζήτηση . Πάλι καλά που θυμόμουν ημερομηνία. ) Οπότε κρατάμε ότι:

\displaystyle{\int_0^a \log \left ( 1 + \tan a \tan x \right ) \, {\rm d}x = a \log \left ( \sec a \right )} Ενδιαφέρον ... !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης