Πολλαπλό ολοκλήρωμα σε σύνολο μηδενικού μέτρου
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3055
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Πολλαπλό ολοκλήρωμα σε σύνολο μηδενικού μέτρου
Να αποδειχθεί ότι αν το σύνολο του έχει μηδενικό μέτρο και είναι Jordan-μετρήσιμο, τότε .
Λέξεις Κλειδιά:
- Σεραφείμ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1872
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
Re: Πολλαπλό ολοκλήρωμα σε σύνολο μηδενικού μέτρου
και Jordan μετρήσιμο το ολοκλήρωμα είναι καλά ορισμένο. Επίσης υπάρχει ακολουθία
κλειστών ορθογωνίων του ώστε και , όπου ο όγκος του ορθογωνίου .
Τότε
Σεραφείμ Τσιπέλης
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3055
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Πολλαπλό ολοκλήρωμα σε σύνολο μηδενικού μέτρου
Μια δεύτερη λύση:
Έστω ότι . Επειδή το είναι Jordan-μετρήσιμο για κάθε ορθογώνιο με , ισχύει Όμως το είναι και μηδενικού μέτρου. Επομένως για υπάρχει συλλογή (*) κλειστών ορθογωνίων τέτοια ώστε και
Επεκτείνοντας την συλλογή με μια συλλογή ορθογωνίων , έτσι ώστε , παρατηρούμε ότι για ισχύει .
Αλλά τότε από την προκύπτει Άτοπο. Άρα .
(*) Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι σε κάθε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο του . Επομένως για ισχύει .
Έστω ότι . Επειδή το είναι Jordan-μετρήσιμο για κάθε ορθογώνιο με , ισχύει Όμως το είναι και μηδενικού μέτρου. Επομένως για υπάρχει συλλογή (*) κλειστών ορθογωνίων τέτοια ώστε και
Επεκτείνοντας την συλλογή με μια συλλογή ορθογωνίων , έτσι ώστε , παρατηρούμε ότι για ισχύει .
Αλλά τότε από την προκύπτει Άτοπο. Άρα .
(*) Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι σε κάθε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο του . Επομένως για ισχύει .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες