Ύπαρξη συνεχούς
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 11, 2018 10:30 pm
Εστω
συνεχής συνάρτηση.
Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδική
συνεχής για την οποία ισχύει
συνεχής συνάρτηση.
Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδική
συνεχής για την οποία ισχύει
.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 11, 2018 10:30 pmΕστω
συνεχής συνάρτηση.
Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδική
συνεχής για την οποία ισχύει
Πολύ ωραία.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 11, 2018 11:26 pm.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 11, 2018 10:30 pmΕστω
συνεχής συνάρτηση.
Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδική
συνεχής για την οποία ισχύει
Καλό.
Έστω . Επειδή στο η είναι φραγμένη, έστω από το , έπεται για στο διάστημα αυτό η σειρά
συγκλίνει ομοιόμορφα: Έπεται από το -test του Weierstrass αφού . Ειδικά, η είναι συνεχής.
Παρατηρούμε ότι ισχύει
.
Αυτό δείχνει την ύπαρξη.
Για την μοναδιότητα, δύο συνεχείς (και άρα φραγμένες) που ικανοποιούν την αρχική θα ικανοποιούν (πάντα στο ) , και την (αφαιρούμε) . Αναδρομικά,
. Και λοιπά.
Επειδή το ως άνω είναι τυχαίο, τα προηγούμενα ισχύουν στο .
Καταπληκτικό. Ούτε που μου πήγε εκεί το μυαλό, που θα έπρεπε γιατί η απόδειξηΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Ιαν 12, 2018 10:22 amΗ απόδειξη που είχα κατά νου ήταν με το θεώρημα σταθερού σημείου του Banach.