Πολλαπλαπλό διαδοχικό ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Υπολογίσατε το ολοκλήρωμα:
$\displaystyle{\int_0^1 \int_0^2 \cdots \int_0^{2018} \left( \sum_{k=1}^{2018} x_{k} \right) \, {\rm d}(x_1, x_2, \dots,x_{2018})}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 18, 2018 9:00 pm
Υπολογίσατε το ολοκλήρωμα:
$\displaystyle{\int_0^1 \int_0^2 \cdots \int_0^{2018} \left( \sum_{k=1}^{2018} x_{k} \right) \, {\rm d}(x_1, x_2, \dots,x_{2018})}$

Θέτουμε
$A(n)=\displaystyle{\int_0^1 \int_0^2 \cdots \int_0^{n} \left( \sum_{k=1}^{n} x_{k} \right) \, {\rm d}(x_1, x_2, \dots,x_{n})}$

Κάνοντας την τελευταία ολοκλήρωση και μετά σπάζοντας το ολοκλήρωμα σε δύο παίρνουμε

$A(n)=nA(n-1)+\frac{1}{2}nn!$

Χρησιμοποιώντας επαγωγή συμπεραίνουμε

ότι $A(n)=\frac{1}{2}n!(n+n-1+....+1)=\frac{1}{4}(n+1)!n$

#3

Έχουμε $\displaystyle \int_0^k x \, \mathrm{d}x = \int_0^k (k-x) \, \mathrm{d}x.$ (Είτε υπολογίζοντας τα ολοκληρώματα είτε από συμμετρία.)

Άρα $\displaystyle 2I_n = \int_0^1 \cdots \int_0^n (1+2+\cdots + n) \, \mathrm{d}x_1 \cdots \, \mathrm{d}x_n = \frac{n(n+1)}{2} \cdot n!$

Οπότε $\displaystyle I_n = \frac{n(n+1)!}{4}$

Πολλαπλαπλό διαδοχικό ολοκλήρωμα

Πολλαπλαπλό διαδοχικό ολοκλήρωμα

Re: Πολλαπλαπλό διαδοχικό ολοκλήρωμα

Re: Πολλαπλαπλό διαδοχικό ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση