Όριο ακολουθίας

M.S.Vovos · #1

Θα ήθελα να μαζέψουμε όσες περισσότερες λύσεις γίνεται.

Έστω x>0

. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\left ( \sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x} \right )}$ .

Φιλικά,
Μάριος

dement · #2

Από το ΘΜΤ στη συνάρτηση x^y

(με μεταβλητή το

) έχουμε

$\displaystyle \frac{n^2 \sqrt[n+1]{x} \ln x}{n(n+1)} \leqslant n^2 \left( \sqrt[n]{x} - \sqrt[n+1]{x} \right) \leqslant \frac{n^2 \sqrt[n]{x} \ln x}{n(n+1)}$

από όπου προκύπτει $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2 \left( \sqrt[n]{x} - \sqrt[n+1]{x} \right) = \ln x$

sot arm · #3

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 20, 2018 8:26 pm
Θα ήθελα να μαζέψουμε όσες περισσότερες λύσεις γίνεται.

Έστω . Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\left ( \sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x} \right )}$ .

Φιλικά,
Μάριος

Μία ακόμα αντιμετώπιση, θεωρώ την ακολουθία συναρτήσεων:

$\displaystyle{f_{n}(t)=\frac{n^{2}}{n(n+1)}[(n+1)t^{\frac{1}{n}-1}-nt^{\frac{1}{n+1}-1}], t>0}$

Για: $\displaystyle{t>1}$

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα:
$\displaystyle{t^{\frac{1}{n}-1}>t^{\frac{1}{n+1}-1}}$

Έπεται:
$\displaystyle{\frac{n^2}{n(n+1)}t^{\frac{1}{n+1}-1}<f_{n}(t)<\frac{n^{2}}{n(n+1)}t^{\frac{1}{n}-1}}$
Ενώ για t<1

και την ανισότητα: $\displaystyle{t^{\frac{1}{n}-1}<t^{\frac{1}{n+1}-1}}$
Έπεται:
$\displaystyle{\frac{n^2}{n(n+1)}t^{\frac{1}{n+1}-1}>f_{n}(t)>\frac{n^{2}}{n(n+1)}t^{\frac{1}{n}-1}}$
Σε κάθε περίπτωση από ισοσυγκλίνουσες έπεται: $\displaystyle{f_{n}(t)\rightarrow \frac{1}{t}}$
Τέλος, χρησιμοποιώντας ιδιότητες της ομοιόμορφης σύγκλισης συναρτήσεων έχω:

$\displaystyle{F_{n}(x)=\int_{1}^{x}f_{n}(t)dt\rightarrow \int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt=ln(x)}$

Με μία απλή ολοκλήρωση στην $f_{n}(t)$ , προκύπτει το ζητούμενο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

sot arm έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 21, 2018 7:52 am

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 20, 2018 8:26 pm
Θα ήθελα να μαζέψουμε όσες περισσότερες λύσεις γίνεται.

Έστω . Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\left ( \sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x} \right )}$ .

Φιλικά,
Μάριος
Μία ακόμα αντιμετώπιση, θεωρώ την ακολουθία συναρτήσεων:

$\displaystyle{f_{n}(t)=\frac{n^{2}}{n(n+1)}[(n+1)t^{\frac{1}{n}-1}-nt^{\frac{1}{n+1}-1}], t>0}$

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα:
$\displaystyle{t^{\frac{1}{n}-1}>t^{\frac{1}{n+1}-1}}$

Έπεται:
$\displaystyle{\frac{n^2}{n(n+1)}t^{\frac{1}{n+1}-1}<f_{n}(t)<\frac{n^{2}}{n(n+1)}t^{\frac{1}{n}-1}}$

Από ισοσυγκλίνουσες έπεται: $\displaystyle{f_{n}(t)\rightarrow \frac{1}{t}}$
Τέλος, χρησιμοποιώντας ιδιότητες της ομοιόμορφης σύγκλισης συναρτήσεων έχω:

$\displaystyle{F_{n}(x)=\int_{1}^{x}f_{n}(t)dt\rightarrow \int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt=ln(x)}$

Με μία απλή ολοκλήρωση στην $f_{n}(t)$ , προκύπτει το ζητούμενο.

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα:
$\displaystyle{t^{\frac{1}{n}-1}>t^{\frac{1}{n+1}-1}}$

Αυτή ισχύει για t> 1

Μάλλον πρέπει να ξεχωρίσουμε τις περιπτώσεις x>1

και

sot arm · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 22, 2018 4:28 pm

sot arm έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 21, 2018 7:52 am

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 20, 2018 8:26 pm
Θα ήθελα να μαζέψουμε όσες περισσότερες λύσεις γίνεται.

Έστω . Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\left ( \sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x} \right )}$ .

Φιλικά,
Μάριος
Μία ακόμα αντιμετώπιση, θεωρώ την ακολουθία συναρτήσεων:

$\displaystyle{f_{n}(t)=\frac{n^{2}}{n(n+1)}[(n+1)t^{\frac{1}{n}-1}-nt^{\frac{1}{n+1}-1}], t>0}$

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα:
$\displaystyle{t^{\frac{1}{n}-1}>t^{\frac{1}{n+1}-1}}$

Έπεται:
$\displaystyle{\frac{n^2}{n(n+1)}t^{\frac{1}{n+1}-1}<f_{n}(t)<\frac{n^{2}}{n(n+1)}t^{\frac{1}{n}-1}}$

Από ισοσυγκλίνουσες έπεται: $\displaystyle{f_{n}(t)\rightarrow \frac{1}{t}}$
Τέλος, χρησιμοποιώντας ιδιότητες της ομοιόμορφης σύγκλισης συναρτήσεων έχω:

$\displaystyle{F_{n}(x)=\int_{1}^{x}f_{n}(t)dt\rightarrow \int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt=ln(x)}$

Με μία απλή ολοκλήρωση στην $f_{n}(t)$ , προκύπτει το ζητούμενο.
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα:
$\displaystyle{t^{\frac{1}{n}-1}>t^{\frac{1}{n+1}-1}}$

Αυτή ισχύει για

Μάλλον πρέπει να ξεχωρίσουμε τις περιπτώσεις και

Νομίζω τώρα είναι μια χαρά, ευχαριστώ για την επισήμανση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 20, 2018 8:26 pm
Θα ήθελα να μαζέψουμε όσες περισσότερες λύσεις γίνεται.

Έστω . Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\left ( \sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x} \right )}$ .

Φιλικά,
Μάριος

Γράφοντας $\sqrt[n]{x}=e^{\frac{lnx}{n}}$ παίρνουμε από το ανάπτυγμα της εκθετικής

$\sqrt[n]{x}=e^{\frac{lnx}{n}}=1+\frac{lnx}{n}+\frac{1}{2}(\frac{lnx}{n})^{2}+O(\frac{1}{n^{3}})$

και $\sqrt[n+1]{x}=e^{\frac{lnx}{n+1}}=1+\frac{lnx}{n+1}+\frac{1}{2}(\frac{lnx}{n+1})^{2}+O(\frac{1}{(n+1)^{3}})$

αφαιρώντας παίρνουμε

$e^{\frac{lnx}{n}}-e^{\frac{lnx}{n+1}}=\frac{lnx}{n(n+1)}+\frac{1}{2}(lnx)^{2}\frac{2n+1}{(n(n+1))^{2}}+O(\frac{1}{n^{3}})$

Ετσι $n^{2}(e^{\frac{lnx}{n}}-e^{\frac{lnx}{n+1}})=lnx-lnx\frac{1}{n+1}+O(\frac{1}{n})$

πού δίνει το ζητούμενο.

Να σημειώσω ότι αν θεωρήσουμε ακολουθία συναρτήσεων τότε η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στα συμπαγή
υποσύνολα του $(0,\infty )$

#7

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 20, 2018 8:26 pm
Θα ήθελα να μαζέψουμε όσες περισσότερες λύσεις γίνεται.

Έστω . Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\left ( \sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x} \right )}$ .

Χαιρετίσματα από το Πακιστάν.

Το παραπάνω αλλιώς, που δείχνει και "τι τρέχει". Ουσιαστικά πρόκειται για το όριο $\displaystyle{\lim _{a\to 0}\frac {x^a-1}{a-0}= \ln x}$ (απλό, π.χ.
ως παράγωγος ως προς a στο a=0

της

για

σταθερό).

Είναι τότε

$\displaystyle{n^{2}\left ( \sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x} \right )= \frac {n^2}{n(n+1)} \cdot x^{\frac {1}{n+1} } \cdot \left ({\frac {x^{\frac {1}{n(n+1)} }-1} {\frac {1}{n(n+1)}} \right ) \to 1\cdot 1 \cdot \ln x}$

Όριο ακολουθίας

Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση