mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 13, 2018 5:50 pm**

Να υπολογισθεί το $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\log\big(1-\tfrac{1}{n^2\pi}\big)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 13, 2018 7:29 pm**

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 13, 2018 5:50 pm
Να υπολογισθεί το $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\log\big(1-\tfrac{1}{n^2\pi}\big)$ .

Ξεκινάμε με τον γνωστό τύπο

$\displaystyle{\frac{\sin z}{z} = \prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - \frac{z^2}{n^2 \pi^2} \right ) \overset{z=\sqrt{\pi}}{=\!=\!=\!\Rightarrow } \frac{ \sin \sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - \frac{1}{n^2 \pi} \right )}$
Τότε,
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \log \left ( 1 - \frac{1}{n^2 \pi} \right ) &= \log \left [ \prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - \frac{1}{n^2 \pi} \right ) \right ] \\ &= \log \frac{\sin \sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} \end{aligned}}$

mathematica.gr

Εύρεση λογαριθμικού αθροίσματος

Εύρεση λογαριθμικού αθροίσματος

Re: Εύρεση λογαριθμικού αθροίσματος