Σειρά με coth

Tolaso J Kos · #1

Για τα $\alpha \in \mathbb{R}$ για τους οποία η παρακάτω σειρά έχει νόημα να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \coth n \pi}{n^4 -\alpha^4} = \frac{1}{4\alpha^2 \pi} \left [ \frac{1}{\alpha^2} - \pi^2 \cot \pi \alpha \coth \pi \alpha \right ]}$

dement · #2

Ο παλιός και δοκιμασμένος τρόπος...

: complex.png (57.42 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές

Παίρνω $\alpha \neq 0$ (βλέποντας και την τελική απάντηση).

Θεωρούμε τη μιγαδική συνάρτηση

με $\displaystyle f(z) = \frac{z \cot(i \pi z) \cot(\pi z)}{z^4 - \alpha^4}$ . Αυτή έχει:

1. Aπλούς πόλους στα σημεία $z = n, n \mathrm{i} (n \in \mathbb{Z^*})$ (πράσινα σημεία), με υπόλοιπο $\displaystyle - \frac{\mathrm{i}n \coth (n \pi)}{\pi (n^4 - \alpha^4)}$ .

2. Απλούς πόλους στα σημεία $z = \pm \alpha, \pm \alpha \mathrm{i}$ (μπλε σημεία), όλους με υπόλοιπο $\displaystyle - \frac{\mathrm{i} \coth (\pi \alpha) \cot (\pi \alpha)}{4 \alpha^2}$ .

3. Απλό πόλο στο

(κόκκινο σημείο) με υπόλοιπο $\displaystyle \frac{\mathrm{i}}{\pi^2 \alpha^4}$ .

Παίρνουμε το $\displaystyle I_n \equiv \oint_{C_n} f(z) \mathrm{d}z$ όπου C_n

το μαύρο τετράγωνο (μεταξύ των σημείων n, n+1

). Ισχύει (για αρκετά μεγάλο

ώστε τα μπλε σημεία να πέφτουν μέσα στο τετράγωνο) $\displaystyle I_n = 2 \pi \mathrm{i} \left(- \sum_{k=1}^n \frac{4 \mathrm{i}k \coth (k \pi)}{\pi (k^4 - \alpha^4)} - \frac{\mathrm{i} \coth (\pi \alpha) \cot (\pi \alpha)}{\alpha^2} + \frac{\mathrm{i}}{\pi^2 \alpha^4} \right)$ . Αφού όμως η συνεφαπτομένη είναι φραγμένη στο $\displaystyle \bigcup_n C_n$ , ισχύει $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$ , από όπου προκύπτει το ζητούμενο.

Tolaso J Kos · #3

dement έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 14, 2018 3:39 pm
Ο παλιός και δοκιμασμένος τρόπος...

Μα με τι άλλο, ε , Δημήτρη ;

Σειρά με coth

Σειρά με coth

Re: Σειρά με coth

Re: Σειρά με coth

Μέλη σε σύνδεση