Ένα ζόρικο όριο (1)

#1

Ένα όριο αναπάντητο από mathlinks που με έχει ζορίσει αρκετά.

Ας υπολογισθεί το $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\frac{1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^{n}}{n!}}{e^{n}}}$ .

Δυο προσπάθειες που δεν με έχουν οδηγήσει σε αποτέλεσμα είναι να γράψω την ποσότητα σαν

$\displaystyle{1+\sum_{k=1}^{+\infty}n^{2k}\Big(\frac{2}{(2k)!}+\frac{(-1)^{k}}{(k!)^{2}}\Big)}$ και ως

$\displaystyle{1-\sum_{i=1}^{+\infty}\sum_{k=0}^{i}\frac{(-1)^{i-k}n^{n+k+1}}{(n+k+1)!(i-k)!}}$ .

Για την πρώτη μορφή, το wolfram μου δίνει για την εναλλακτική μορφή $\displaystyle{-2+J_{0}(2n)+2\cosh(n)}$ ( $\displaystyle{J_{0}(x)}$ η συνάρτηση Bessel) και λέει επίσης ότι $\displaystyle{J_{0}(2n)\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}0}$ . Όμως τότε το όριο βγαίνει άπειρο, κάτι που δε γίνεται διότι για κάθε

το κλάσμα είναι θετικό και μικρότερο της μονάδας...καμμιά ιδέα;

AlexandrosG · #2

Γειά σου Αναστάση,

Νομίζω ότι το όριο είναι

. Για την παρακάτω λύση δεν είμαι πολύ σίγουρος.

Από το λήμμα του Stoltz αρκεί να βρούμε το όριο της ακολουθίας $\displaystyle{\frac{n^n}{n!(e^n-e^{n-1})}=\frac{e}{e-1} \frac{(\frac{n}{e})^n}{n!}}$ . Από τον τύπο του Stirling η τελευταία τείνει όπου και η $\displaystyle{\frac{e}{e-1}\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}$ δηλαδή στο

.

#3

χμμ, τελικά δεν ήταν και τόσο ζόρικο όσο νόμιζα. Το ξεφτύλισα πάλι...Ωραίος Αλέξανδρε!

#4

Τελικά το όριο είναι $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ . Το paper αυτό το ανέβασαν στο mathlinks. Τελικά δεν ήταν και τόσο εύκολο..

http://www.emis.de/journals/AMAPN/vol15/voros.pdf

AlexandrosG · #5

Αναστάση ή και κάποιος άλλος, μήπως μπορείτε να μου πείτε που έχω κάνει λάθος γιατί δεν μπορώ να το βρω όσο και αν το κοιτάω?

Ilias_Zad · #6

Αλέξανδρε ολοι οι όροι του αθροίσματος του αριθμητη είναι συναρτήσεις του n(απο τον πρωτο ως τον n-οστο) και όχι μόνο ο τελευταιος.
Εσυ νομίζω ότι υπολογισες το $\frac{ \sum_{k=1}^{n}\frac{k^k}{k!}}{e^n}$ ,

στο απειρο.

AlexandrosG · #7

Γειά σου Ηλία,

έχεις απόλυτο δίκιο, τώρα το κατάλαβα, πλάκα είχε

Thanks και να τα πούμε ρε καμμιά μέρα.

Ένα ζόρικο όριο (1)

Ένα ζόρικο όριο (1)

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Re: Ένα ζόρικο όριο

Μέλη σε σύνδεση