Σύστημα

#1

Μια και ξεφυλλίζω ένα βιβλίο με ασκήσεις της περισυνής ολυμπιάδας στη Ρουμανία, σας γνωστοποιώ ένα ακόμα θέμα , που οδηγεί τελικά και σε μια απλή άσκηση μονοτονίας συναρτήσεων :

ΑΣΚΗΣΗ

Να λυθεί το σύστημα :

$\displaystyle{ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\log _6 (x^2 + 2) = \log _2 y} \\ {\log _6 (y^2 + 2) = \log _2 z} \\ {\log _6 (z^2 + 2) = \log _2 x} \\ \end{array}} \right. }$

Μπάμπης
(Έχω και την επίσημη λύση, για όποιον τη θελήσει)

#2

Μπάμπη καλησπέρα. Ας επιχειρήσω μία λύση:
Αν υποθέσουμε ότι $x \geq y \geq z$ , τότε $log_{6}(x^2+2) \geq log_{6}(y^2+2) \geq log_{6}(z^2+2)$ άρα $y \geq z \geq x$ , άρα x=y=z

. Το σύστημα ισοδυναμεί με την εξίσωση $\frac {ln(x^2+2)}{ln6}= \frac {lnx}{ln2}$ . Η συνάρτηση $f(x)=\frac {ln(x^2+2)}{ln6}- \frac {lnx}{ln2}, x>0$ είναι γνησίως φθίνουσα (εύκολο), άρα η εξίσωση που αναφέραμε έχει ως μοναδική λύση την προφανή x=2

Φιλικά

Math Rider · #3

Μια άλλη προσέγγιση είναι να χρησιμοποιήσουμε το τέχνασμα του κυρίου Μπάμπη εδώ: viewtopic.php?f=61&t=2241
Γενικά, νομιζω οτι το κλειδί σε τέτοιου είδους ασκήσεις (με κυκλικότητα των x, y, z) είναι να αποδείξουμε, με κάποιο τρόπο,
ότι x = y = z.

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση