Συνεχεια

Andreas134 · #1

Καλησπερα ειμαι νεος μελος στην κοινοτητα και παραθετω το πρωτο μου θεμα

Εστω $\displaystyle{f:[0,1] \to }$ R συνεχης ωστε $\displaystyle{\int_0^1 {{x^{^n}}} f(x)dx = 0} ,\displaystyle{\forall n \in {\Bbb N} \cup \{ 0\} }$
Δειξτε οτι $\displaystyle{f \equiv 0}$ . Ακολουθως, δειξτε οτι αν $\displaystyle{f,g:[0,1] \to }$ R συνεχεις συναρτησεις τετοιες ωστε $\displaystyle{\int\limits_0^1 {{x^n}f(x)dx = \int\limits_0^1 {{x^n}g(x)dx,\forall n \ } } }$ τοτε
$\displaystyle{f \equiv g}$ .
Ευχαριστω

#2

Andreas134 έγραψε:Καλησπερα ειμαι νεος μελος στην κοινοτητα και παραθετω το πρωτο μου θεμα
Εστω $\displaystyle{f:[0,1] \to }$ R συνεχης ωστε $\displaystyle{\int_0^1 {{x^{^n}}} f(x)dx = 0} ,\displaystyle{\forall n \in {\Bbb N} \cup \{ 0\} }$
Δειξτε οτι $\displaystyle{f \equiv 0}$ . Ακολουθως, δειξτε οτι αν $\displaystyle{f,g:[0,1] \to }$ R συνεχεις συναρτησεις τετοιες ωστε $\displaystyle{\int\limits_0^1 {{x^n}f(x)dx = \int\limits_0^1 {{x^n}g(x)dx,\forall n \ } } }$ τοτε
$\displaystyle{f \equiv g}$ .
Ευχαριστω

Γεια σου Αντρέα! Για το πρώτο, από το θεώρημα Weierstrass υπάρχει ακολουθία πολυωνύμων $p_{n}$ με $\displaystyle{p_{n}\stackrel{o\mu}{\longrightarrow}f}$ άρα $\displaystyle{p_{n}f\stackrel{o\mu}{\longrightarrow}f^{2}}$ στο [0,1]

, άρα

$\displaystyle{0=\int_{0}^{1}p_{n}f\,dx\to\int_{0}^{1}f^{2}\,dx}$ , άρα $\displaystyle{f\equiv0}$ . Το δεύτερο είναι εφαρμογή του πρώτου για την $\displaystyle{f-g}$ .

Andreas134 · #3

Ευχαριστω πολυ για την απαντηση

mathxl · #4

viewtopic.php?f=54&t=2170

Συνεχεια

Συνεχεια

Re: Συνεχεια

Re: Συνεχεια

Re: Συνεχεια

Μέλη σε σύνδεση