μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 41

mathxl · #1

Αν 0 < b < α να υπολογίσετε το
$\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{arctan(ax)-arctan(bx)}{x}$

#2

mathxl έγραψε:Αν 0 < b < α να υπολογίσετε το
$\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{arctan(ax)-arctan(bx)}{x}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$\frac{\pi}{2}\ln\bigg(\frac{a}{b}\bigg)$

$\displaystyle{I=\int_{0}^{+\infty}\int_{b}^{a}\frac{1}{(yx)^{2}+1}\,dy\,dx\stackrel{Fubini}{=}\int_{b}^{a}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(yx)^{2}+1}\,dx\,dy=\int_{b}^{a}\frac{\tan^{-1}yx}{y}\Big|_{0}^{+\infty}\,dy=\int_{b}^{a}\frac{\pi}{2y}\,dy=\frac{\pi}{2}\ln\frac{a}{b}}$ .

mathxl · #3

Σωστός και πάλι

#4

Σχετικό ποστ υπάρχει εδώ.

Και κάτι πιο γενικό : (Frullani)

Έστω $\displaystyle{f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}}$ συνεχώς παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f{'}}$ μονότονη στο $\displaystyle{[0,+\infty)}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}=\ell\in\mathbb{R}}$ . Ας δειχθεί ότι για $\displaystyle{a,b>0}$ είναι

$\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{f(bx)-f(ax)}{x}\,dx=(\ell-f(0))\ln\frac{b}{a}}$ .

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 41

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 41

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 41

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 41

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 41

Μέλη σε σύνδεση