Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 18

#1

Να εξετασθεί η σημειακή και ομοιόμορφη σύγκλιση της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ με $f_n(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{n}{t}\,\sin\big({\tfrac{t\pi}{n}}\big)\,dt\,,\; x\in[{0,+\infty})$ .

BAGGP93 · #2

edit: Αβλεψία. Ευχαριστώ τον κ.Λάμπρου για την επισήμανση.

Όριο $f(x)=\pi x,\,\,x\geq 0$ αλλά η σύγκλιση όχι ομοιόμορφη.

edit: Γρηγόρη από ό,τι είδα στη βιβλιογραφία, οι συγκεκριμμένες συναρτήσεις συμβολίζονται ως Si.

#3

BAGGP93 έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 20, 2024 12:30 pm

και συνεπώς για $t\in\left[r,x\right]$ έχουμε

$\displaystyle{\left|\frac{n}{t}\,\sin\left(\frac{t \pi}{n}\right)-\pi\right|=\frac{|g_{n,x}(t)|}{t}\leq \frac{g_{n,x}(r)}{t}\leq \frac{n\,\sin\left(\frac{\pi r}{n}\right)}{r}-\pi.}$

Βαγγέλη, επειδή αναρωτιέσαι αν είναι σωστή η μέθοδος: Δεν ξέρω να σου πω, γιατί δεν το κοίταξα με λεπτομέρεια αλλά σίγουρα το παραπάνω είναι προβληματικό γιατί το αριστερό μέλος είναι θετικό ενώ το δεξί είναι αρνητικό. Μάλλον πρόκειται για δευτερεύουσα τυπογραφική αβλεψία.

Έχω λύσει την άσκηση αλλά λόγω πίεσης, δεν την έχω γράψει. Πάντως δεν χρειάστηκα το διπλό όριο $\lim_{r\to 0} \lim_{n\to \infty}$ που χρησιμοποιείς αλλά μέσες άκρες πατάμε στα ίδια θεωρήματα.

Αν βρω χρόνο, θα γράψω λύση, εφόσον χρειαστεί.

#4

BAGGP93 έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 20, 2024 12:30 pm
Όριο $f(x)=\pi x,\,\,x\geq 0$ αλλά η σύγκλιση όχι ομοιόμορφη.

edit: Γρηγόρη από ό,τι είδα στη βιβλιογραφία, οι συγκεκριμμένες συναρτήσεις συμβολίζονται ως Si.

Σωστά Βαγγέλη. Δίνω την λύση μου:

$f_n(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{n}{t}\,\sin\big({\tfrac{t\pi}{n}}\big)\,dt\stackrel{u\,=\,\frac{t\pi}{n}}{=\!=\!=}\int_{0}^{\frac{x\pi}{n}}\frac{n}{\frac{nu}{\pi}}\,\sin{u}\,\frac{n}{\pi}\,du=n\int_{0}^{\frac{x\pi}{n}}\frac{\sin{u}}{u}\,du=n\,{\mathrm{Si}}\,\big({\tfrac{x\pi}{n}}\big)\,, x\in[{0,+\infty})\,.$

Για την σημειακή σύγκλιση:
$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}n\,{\mathrm{Si}}\,\big({\tfrac{x\pi}{n}}\big)&\stackrel{v\,=\,\frac{x\pi}{n}}{=\!=\!=}\lim_{v\to 0}\frac{x\pi}{v}\,{\mathrm{Si}}\,({v})\\ &=\pi x\lim_{v\to 0}\frac{{\mathrm{Si}}\,({v})}{v}\\ &\stackrel{DHL}{=\!=}\pi x\lim_{v\to 0}\frac{\frac{\sin{v}}{v}}{1}\\ &=\pi x\lim_{v\to 0}\frac{\sin{v}}{v}\\ &=\pi x\,. \end{aligned}$

Άρα $f_n(x)\to \pi x\,, \; x\in[{0,+\infty})$ .
Για την ομοιόμορφη σύγκλιση:
$\begin{aligned} \sup_{x\in({0,+\infty})}\big|{f_n(x)-\pi x}\big|&\geqslant \Big|{n\,{\mathrm{Si}}\,\big({\tfrac{n\pi}{n}}\big)-\pi n}\Big|\\ &=n\big({\pi-{\mathrm{Si}}\,(\pi)}\big)\xrightarrow{n\to\infty}\infty\neq0\,. \end{aligned}$

Άρα $f_n(x)\not\rightrightarrows \pi x\,, \; x\in[{0,+\infty})\,.$

: seqfunc_nSi_small.png (38.69 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 18

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 18

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 18

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 18

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 18

Μέλη σε σύνδεση