Ένα κριτήριο μη ομοιόμορφης σύγκλισης

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Απάντηση
Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Ιάσων Κωνσταντόπουλος

Ένα κριτήριο μη ομοιόμορφης σύγκλισης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος » Παρ Μαρ 15, 2024 3:46 pm

Το παρακάτω κριτήριο προέκυψε με αφορμή την ανάρτηση viewtopic.php?f=9&t=75518 από τον grigkost

Έστω I\subseteq\mathbb{R} και a σημείο συσσώρευσης του I. Αν το I δεν είναι (άνω/κάτω) φραγμένο τότε το a ενδέχεται να είναι (αντίστοιχα) κάποιο εκ των \pm\infty. Θεωρούμε την ακολουθία συναρτήσεων (f_n)_{n\in\mathbb{N}} με f_n\colon I\rightarrow\mathbb{R} η οποία συγκλίνει σημειακά σε μια συνάρτηση f\colon I\rightarrow\mathbb{R}. Ορίζουμε \ell_{m}\colon=\limsup\limits_{x\to a}|f(x)-f_{m}(x)| για m\in\mathbb{N}.

1) Έστω (n_m)_{m\in\mathbb{N}} μια γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών. Να δειχθεί ότι αν \ell_{n_m}=+\infty για κάθε m\in\mathbb{N} τότε η σύγκλιση της (f_n) στην f δεν είναι ομοιόμορφη.

2) Έστω ότι \ell_{m}<+\infty για κάθε m\in\mathbb{N}. Να δειχθεί ότι: αν \limsup\limits_{m\to+\infty}\ell_m>0 τότε η σύγκλιση (f_n)\to f δεν είναι ομοιόμορφη.


Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Λέξεις Κλειδιά:
ομοιόμορφη-σύγκλιση
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες