Συναρτησιακή 2

#1

Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες υπάρχουν $k \in (0,1)$ και $b \in \mathbb{R}$ ώστε
(1) $|f(x)-f(y)| \leq k|x-y|, \forall x,y \in \mathbb{R}$ και
(2) $f(f(x)-x)=b(f(x)-x), \forall x \in \mathbb{R}$
Φιλικά

AlexandrosG · #2

Καλησπέρα,

μια προσπάθεια ανάμεσα σε εξετάσεις τις σχολής και ποδόσφαιρο

Η

είναι συστολή. Άρα είναι συνεχής και υπάρχει μοναδικό $\xi$ τέτοιο ώστε $f(\xi)=\xi$ . Το αντικαθιστούμε στη δεύτερη σχέση και βρίσκουμε ότι f(0)=0

. Άρα $\xi=0$ . Στην πρώτη σχέση για y=0

: $|f(x)| \leq k |x|$ . Από αυτήν προκύπτει άμεσα η $x-k|x| \leq x-f(x) \leq x+k|x|$ . Για x>0

παίρνουμε $(1-k)x \leq x-f(x)$ και για x<0

όμοια $x-f(x) \leq (1-k)x$ . Από αυτές με όρια στα $+\infty,-\infty$ αντίστοιχα βρίσκουμε ότι η συνεχής συνάρτηση x-f(x)

είναι επί του $\mathbb{R}$ . Συνεπώς από τη δεύτερη σχέση προκύπτει $f(y)=by, \forall y \in \mathbb{R}$ . Αυτές είναι οι ζητούμενες συναρτήσεις αλλά με -1< b<1

για να είναι συστολές.

Ελπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι.

Φιλικά,

Αλέξανδρος

#3

AlexandrosG έγραψε:... Για παίρνουμε $(1-k)x \leq x-f(x)$ και για όμοια $x-f(x) \leq (1-k)x$ . Από αυτές με όρια στα $+\infty,-\infty$ αντίστοιχα βρίσκουμε ότι η συνεχής συνάρτηση είναι επί του $\mathbb{R}$ .

Ελπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι.

Φιλικά,

Αλέξανδρος

Αλέξανδρε, $x>0 \Rightarrow f(x)\leq kx$ , τι βγαίνει αν πάρουμε όριο στο $+\infty$ ;;
Φιλικά

#4

Αλέξανδρε, απολύτως σωστό

. Μετά την διευκρίνησή σου στο προσωπικό μήνυμα το κατάλαβα
Φιλικά

Συναρτησιακή 2

Συναρτησιακή 2

Re: Συναρτησιακή 2

Re: Συναρτησιακή 2

Re: Συναρτησιακή 2

Μέλη σε σύνδεση