μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 60

mathxl · #1

Για την ώρα αναπάντητο
Να δείξετε ότι
$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{3}x}{x^{2}}}dx=\frac{3\ln3}{4}}$

#2

mathxl · #3

Σεραφείμ είσαι γνωστός killer...

Μία προσπάθεια
$\displaystyle{\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{x^2}}}dx} = \frac{1}{4}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{4{{\sin }^3}x}}{{{x^2}}}dx} = \frac{1}{4}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{3\sin x - \sin 3x}}{{{x^2}}}dx = } }$

$\displaystyle{ = \left[ { - \frac{{3\sin x - \sin 3x}}{{4x}}} \right]_0^{ + \infty } + \frac{3}{4}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos x - \cos 3x}}{x}dx = } }$

$\displaystyle{ = 0 + \frac{3}{4}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos x - \cos 3x}}{x}dx = } \frac{3}{4}\ln 3}$

Γιατί
$\displaystyle{\left. {\begin{array}{*{20}{c}} \displaystyle\ {{\rm{Ci}}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x {\frac{{\cos t - 1}}{t}} \,dt} \\ \displaystyle\ {{\rm{Ci}}(3x) = \gamma + \ln 3x + \int_0^{3x} {\frac{{\cos t - 1}}{t}} \,dt\mathop = \limits_{dt = 3du}^{t = 3u} \gamma + \ln 3x + \int_0^x {\frac{{\cos 3u - 1}}{u}} } \\ \end{array}} \right\} \Rightarrow Ci\left( x \right) - Ci\left( {3x} \right) =- \ln 3 + \int_0^x {\frac{{\cos t - \cos 3t}}{t}} \,dt}$
και αν πάρουμε όρια, στο +οο, το πρώτο μέλος δίνει 0 (δίνει;) και έτσι βγάζουμε τελικό 3ln3/4

Σωστό;

mathxl · #4

Η άσκηση είναι από εδώ http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=356069 παραμένει αναπάντητη
Μία άλλη αντιμετώπιση ίσως μπορεί να γίνει κα έτσι
$\displaystyle{\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{x^2}}}dx} = \frac{1}{4}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{4{{\sin }^3}x}}{{{x^2}}}dx} = \frac{1}{4}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{3\sin x - \sin 3x}}{{{x^2}}}dx = } }$

$\displaystyle{ = \left[ { - \frac{{3\sin x - \sin 3x}}{{4x}}} \right]_0^{ + \infty } + \frac{3}{4}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos x - \cos 3x}}{x}dx = } }$

$\displaystyle{ = 0 + \frac{3}{4}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos x - \cos 3x}}{x}dx} }$

εδώ τώρα τα δύσκολα...
$\displaystyle{I\left( a \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{{e^{ax}}\left( {\cos x - \cos 3x} \right)}}{x}dx,a \le 0} \Rightarrow I'\left( a \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ax}}\left( {\cos x - \cos 3x} \right)dx} = }$

$\displaystyle{ = ... = \frac{a}{{1 + {a^2}}} - \frac{a}{{9 + {a^2}}} \Rightarrow I\left( a \right) = \frac{1}{2}\ln \left( {1 + {a^2}} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( {9 + {a^2}} \right) + c = \frac{1}{2}\ln \frac{{1 + {a^2}}}{{9 + {a^2}}} + c}$
Παίρνουμε όρια στο -οο
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } I\left( a \right) = 0 + c \Rightarrow 0 = c}$
Όπότε για α = 0
$\displaystyle{I\left( 0 \right) = - \ln 3 \Rightarrow \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos x - \cos 3x}}{x}dx} = - \ln 3{\rm{ }}}$
και βγαίνει το αντίθετο από το ζητούμενο λολ...

Μάλλον έχασα κάπου ένα πρόσημο...καληνύχτα

#5

Φτάνοντας στο $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos x-\cos3x}{x}\,dx}$ , ένας άλλος τρόπος να το υπολογίσουμε, ο οποίος δουλεύει και γενικά για συνάρτηση $\displaystyle{f}$ συνεχή στο $\displaystyle{[0,+\infty)}$ για την οποία το $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{f(x)}{x}\,dx}$ συγκλίνει, είναι ο εξής :

$\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos x-\cos3x}{x}\,dx=\lim_{h\to0}\int_{h}^{+\infty}\frac{\cos x-\cos3x}{x}\,dx}$ . Όμως γράφοντας $\displaystyle{F(t):=\frac{1}{t}\int_{0}^{t}\cos x\,dx=\frac{\sin t}{t}}$ , έχουμε

$\displaystyle{\int_{h}^{+\infty}\frac{\cos x-\cos3x}{x}\,dx=\int_{h}^{3h}\frac{\cos t}{t}\,dt=\int_{h}^{3h}\frac{\big(tF(t)\big){'}}{t}\,dt=F(3h)-F(h)+\int_{h}^{3h}\frac{F(t)}{t}\,dt\stackrel{\ln t=x}{=}}$

$\displaystyle{F(3h)-F(h)+\int_{\ln h}^{\ln 3h}F(e^{x})\,dx=F(3h)-F(h)+F(e^{\xi})\ln3}$ για κάποιο $\displaystyle{\ln h<\xi<\ln3h}$

$\displaystyle{=\frac{\sin h}{h}-\frac{\sin3h}{3h}+\ln3\frac{\sin e^{\xi}}{e^{\xi}}\stackrel{h\to0}{\longrightarrow}\ln3}$

mathxl · #6

mathxl έγραψε:Σεραφείμ είσαι γνωστός killer...

Μία προσπάθεια
$\displaystyle{\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{x^2}}}dx} = \frac{1}{4}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{4{{\sin }^3}x}}{{{x^2}}}dx} = \frac{1}{4}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{3\sin x - \sin 3x}}{{{x^2}}}dx = } }$

$\displaystyle{ = \left[ { - \frac{{3\sin x - \sin 3x}}{{4x}}} \right]_0^{ + \infty } + \frac{3}{4}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos x - \cos 3x}}{x}dx = } }$

$\displaystyle{ = 0 + \frac{3}{4}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos x - \cos 3x}}{x}dx = } \frac{3}{4}\ln 3}$

Γιατί
$\displaystyle{\left. {\begin{array}{*{20}{c}} \displaystyle\ {{\rm{Ci}}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x {\frac{{\cos t - 1}}{t}} \,dt} \\ \displaystyle\ {{\rm{Ci}}(3x) = \gamma + \ln 3x + \int_0^{3x} {\frac{{\cos t - 1}}{t}} \,dt\mathop = \limits_{dt = 3du}^{t = 3u} \gamma + \ln 3x + \int_0^x {\frac{{\cos 3u - 1}}{u}} } \\ \end{array}} \right\} \Rightarrow Ci\left( x \right) - Ci\left( {3x} \right) =- \ln 3 + \int_0^x {\frac{{\cos t - \cos 3t}}{t}} \,dt}$
και αν πάρουμε όρια, στο +οο, το πρώτο μέλος δίνει 0 (δίνει;) και έτσι βγάζουμε τελικό 3ln3/4

Σωστό;

αγαπητέ mathxl μηδέ προ του sos440 μακάριζε http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=388088 μα φυσικά κάνει 0 και η ερώτηση είναι ανόητη εκ των υστέρων

#7

mathxl έγραψε:αγαπητέ mathxl μηδέ προ του sos440 μακάριζε http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=388088

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 60

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 60

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 60

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 60

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 60

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 60

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 60

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 60

Μέλη σε σύνδεση