Ογκος στερεου

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Ογκος στερεου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό antegeia » Παρ. Ιούλ. 16, 2010 12:07 pm

Εστω το επιπεδο x+2y+z=10, του οποιου ενα τμημα εχει προβολη στο επιπεδο του χωριου (α) που εχει συνορο στην ελλειψη x^2+(y/2)^2=1. Zητειται ο υπολογισμος ογκου του στερεου που περικλειεται απο το τμημα του επιπεδου και την προβολη του (α) στο επιπεδο. Ποιο το εμβαδο του τμηματος αυτου του επιπεδου x+2y+z=10.
antegeia
 
Δημοσιεύσεις: 126
Εγγραφή: Σάβ. Ιαν. 31, 2009 3:10 pm

Re: Ογκος στερεου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Ωmega Man » Παρ. Ιούλ. 30, 2010 12:17 pm

Για τον όγκο έχουμε,

\displaystyle{\begin{matrix}\bf x+2y+z & \bf= & \bf 10 \\ \bf x^2+\left(\frac{y}{2}\right)^2 &\bf =& \bf1\end{matrix}\;\bf\Bigg\}\longrightarrow} και με αλλαγή σε πολικές συντεταγμένες παίρνουμε,

\displaystyle{\bf\iiint_{\mathbb{V}} 1 \;d\mathbb{V}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{10-r\cos(\theta)-4r\sin(\theta)}\;2r \;dz\;d\theta\;dr=20\pi} .

Δίνω και το σχήμα.
Συνημμένα
Volume.gif
Volume.gif (14.13 KiB) 398 προβολές
...and the Seventh Angel poured forth his bowl into the air, and a voice cried out from Heaven, saying, "It is done!" A man of your responsibilities reading about the end of the world ...

-Commissar Putin-
Άβαταρ μέλους
Ωmega Man
 
Δημοσιεύσεις: 1195
Εγγραφή: Παρ. Ιουν. 05, 2009 7:17 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ογκος στερεου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Ωmega Man » Σάβ. Σεπ. 04, 2010 4:12 pm

Για το εμβαδόν,
\displaystyle{\bf z=10-x-2y} κάνοντας παραμετρικοποίηση της επιφάνειας,
\displaystyle{\bf S(x,y)=(x,y,10-x-2y)} και \displaystyle{\bf ||S_{x}\times S_{y}||=||(1,0,-1)\times(0,1,-2)||=\sqrt{6}}. Στο επίπεδο \displaystyle{\bf z=0} το χωρίο \displaystyle{\mathbb{D}} ορίζεται από την σχέση \displaystyle{\bf x^2+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}\leq 1} και το ζητούμενο εμβαδόν από την γνωστή σχέση,
\displaystyle{\bf Area=\iint_{\mathbb{D}}||S_{x}\times S_{y}||\;d\mathbb{A}}. Κάνοντας τους υπολογισμούς και μια μετατροπή σε πολικές συντεταγμένες παίρνουμε,

\displaystyle{\bf Area = \sqrt{6}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}2r\;d\theta\;dr=2\pi \sqrt{6}}.
...and the Seventh Angel poured forth his bowl into the air, and a voice cried out from Heaven, saying, "It is done!" A man of your responsibilities reading about the end of the world ...

-Commissar Putin-
Άβαταρ μέλους
Ωmega Man
 
Δημοσιεύσεις: 1195
Εγγραφή: Παρ. Ιουν. 05, 2009 7:17 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη


Επιστροφή στο ΑΝΑΛΥΣΗ

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: china university, emouroukos και 2 επισκέπτες