Ανισότητα μέ ολοκλήρωμα
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3049
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα μέ ολοκλήρωμα
Νομιζω οτι μπορουμε να 'σφιξουμε' λιγο το φραγμα στην περιπτωση (α).
Εχουμε, οπως ειπε ο Σεραφειμ, οτι .
Παρατηρουμε οτι ενω .
Παρατηρουμε επισης οτι για καποιο (μετακινουμε το ανω οριο του ολοκληρωματος προς την κατευθυνση που αυξανει την απολυτη τιμη του).
Εχοντας κανει αυτο, αυξανουμε ακομα περισσοτερο την απολυτη τιμη του ολοκληρωματος ελαττωνοντας το ανω οριο κατα . Ετσι καταληγουμε ειτε στο ειτε στο .
Ετσι, το ειναι ανω φραγμα του ολοκληρωματος.
Δημητρης Σκουτερης
Εχουμε, οπως ειπε ο Σεραφειμ, οτι .
Παρατηρουμε οτι ενω .
Παρατηρουμε επισης οτι για καποιο (μετακινουμε το ανω οριο του ολοκληρωματος προς την κατευθυνση που αυξανει την απολυτη τιμη του).
Εχοντας κανει αυτο, αυξανουμε ακομα περισσοτερο την απολυτη τιμη του ολοκληρωματος ελαττωνοντας το ανω οριο κατα . Ετσι καταληγουμε ειτε στο ειτε στο .
Ετσι, το ειναι ανω φραγμα του ολοκληρωματος.
Δημητρης Σκουτερης
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3049
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα μέ ολοκλήρωμα
Η α) είναι άλυτη άσκηση στόν Απειροστικό Λογισμό ΙΙ τού Σωτήρη Ντούγια.Σεραφείμ έγραψε:Αρχικά για το (α). Έπεται συνέχεια ..
Η β) είναι η καλύτερη δυνατή, αφού η είναι η μέγιστη τιμή τού ολοκληρώματος.
ΥΠΟΔΕΙΞΗ:
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3049
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα μέ ολοκλήρωμα
Γιά τό β):
Γιά ισχύει:
Επειδή , αρκεί νά μελετηθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση , .
, .
Γιά τήν μονοτονία καί τά ακρότατα τής συνάρτησης προκύπτουν: Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικά μέγιστα στά σημεία , , καί τοπικά ελάχιστα στά σημεία , .
Γιά τίς παραγωγίσιμες στό , συναρτήσεις , , προκύπτουν:
, γιά κάθε .
Επομένως, γιά κάθε , η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στό καί ισχύει
, γιά κάθε .
Επομένως προκύπτει ότι, γιά κάθε , ισχύει .
Γιά τίς παραγωγίσιμες στό , συναρτήσεις , , προκύπτουν:
, γιά κάθε .
Επομένως, γιά κάθε , η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στό καί ισχύει
, γιά κάθε , .
Επομένως προκύπτει ότι, γιά κάθε , ισχύει
.
Από τίς καί προκύπτει , όπου , .
Άρα
.
.
Γιά ισχύει:
Επειδή , αρκεί νά μελετηθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση , .
, .
Γιά τήν μονοτονία καί τά ακρότατα τής συνάρτησης προκύπτουν: Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικά μέγιστα στά σημεία , , καί τοπικά ελάχιστα στά σημεία , .
Γιά τίς παραγωγίσιμες στό , συναρτήσεις , , προκύπτουν:
, γιά κάθε .
Επομένως, γιά κάθε , η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στό καί ισχύει
, γιά κάθε .
Επομένως προκύπτει ότι, γιά κάθε , ισχύει .
Γιά τίς παραγωγίσιμες στό , συναρτήσεις , , προκύπτουν:
, γιά κάθε .
Επομένως, γιά κάθε , η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στό καί ισχύει
, γιά κάθε , .
Επομένως προκύπτει ότι, γιά κάθε , ισχύει
.
Από τίς καί προκύπτει , όπου , .
Άρα
.
.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 34 επισκέπτες